Неравенство треугольника. Геометрические неравенства.
На этом занятии мы продолжим работать с неравенствами и посмотрим, как неравенства помогают решать геометрические задачи и как геометрия помогает в доказательстве алгебраических неравенств.
Конспект занятия "Неравенство треугольника. Геометрические неравенства."Геометрические неравенства.
При изучении математики ученикам часто приходится сталкиваться с решением неравенств. Одними из наиболее сложных видов неравенств являются геометрические . В школе на их решение отводится не достаточное количество времени, поэтому при работе с подобными неравенствами у учеников возникают трудности. Однако на вступительных экзаменах в ВУЗы и на математических олимпиадах такого рода задания можно встретить достаточно часто. Рассмотрим некоторые из них.
Неравенство треугольника
Теорема (неравенство треугольника):
Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других его сторон.
Замечание. Иногда используют также и несколько другую формулировку этой теоремы, подключая попутно и случай вырожденного треугольника:
Длина любой стороны треугольника всегда не превосходит сумму длин двух его других сторон.
Заметим, что разница между двумя приведенными формулировками столь незначительна, что нет смысла рассматривать их отдельно. В дальнейшем при решении задач мы будем использовать как первую формулировку теоремы, так и вторую, не оговаривая это отдельно.
Неравенство треугольника возникло, судя по всему, тогда же, когда человек научился ходить и хоть как-то мыслить. Известно, что одну из первых его формализаций приводит Евклид в знаменитых «Началах». Там он доказывает неравенство треугольника следующим образом. Сначала доказывается теорема о том, что внешний угол треугольника больше внутреннего угла, с ним не смежного. Из нее выводится теорема о том, что против большей стороны треугольника лежит больший внутренний угол. Далее, методом от противного доказывается теорема о том, что против большего внутреннего угла треугольника лежит большая сторона. А из этой теоремы выводится неравенство треугольника. Вот такая вот непростая логическая цепочка для доказательства вполне очевидного, казалось бы, неравенства!
Доказательство теоремы. Рассмотрим треугольник ABC и покажем, что AB AC + BC. При доказательстве воспользуемся одним из видов дополнительных построений – откладыванием равных отрезков (метод спрямления).
В треугольнике ABC (рис. 1) на продолжении стороны BC отложим отрезок CD, равный AC. В равнобедренном треугольнике ACD . В треугольнике ABD угол ADB меньше угла BAD, значит, BD AB, или BC + CD AB. Но CD = AC, значит, AC + BC AB.
Замечание. Обратите внимание, что, исходя из формулировки теоремы, следует записать сразу три неравенства:
AB AC + BC ;
AC AB + BC ;
BC AB + AC.
Нередко, записав одно неравенство, о двух других почему-то забывают. Помните, что это может привести к довольно неприятным ошибкам.
Неравенство треугольника может служить одним из простых критериев принадлежности трех точек одной прямой. Три точки будут принадлежать одной прямой тогда и только тогда, когда в неравенстве треугольника достигается равенство. Естественно, равенство может достигаться лишь в одном из трех неравенств (см. замечание), поскольку одна из точек будет лежать четко между двумя другими.
Докажите, что в треугольнике каждая сторона больше разности двух других сторон.
Приведем в качестве примера использования неравенства треугольника несколько сравнительно несложных геометрических задач.
В треугольнике длины двух сторон равны 5, 27 и 2, 79. Какой может быть длина третьей стороны, если известно, что она является целым числом.
Докажите, что в произвольном четырехугольнике ABCD AB + CD AC + BD.
Докажите, что в треугольнике ABC выполнено неравенство
(a, b, c – стороны треугольника ABC).
Докажите, что медиана AM в произвольном треугольнике ABC по длине меньше, чем .
На плоскости дан квадрат ABCD и точка O. Докажите, что расстояние от точки O до одной из вершин квадрата не превосходит суммы расстояний от O до трех других вершин квадрата.
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что a = y + z, b = x + z и c = x + y, где x, y и z — положительные числа.
Пусть a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство a 3 + b 3 + 3abc c 3 .
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что a 2 + b 2 + c 2 ab + bc + ca).
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
a ( b - c ) 2 + b ( c - a ) 2 + c ( a - b ) 2 + 4 abc a 3 + b 3 + c 3 .
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
a, b, c – стороны треугольника. Докажите неравенство
a, b, c – длины сторон треугольника. Докажите, что
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
( a + b - c )( a - b + c )(- a + b + c ) abc .
a, b и c - длины сторон произвольного треугольника. Докажите, что
a 2 b ( a - b ) + b 2 c ( b - c ) + c 2 a ( c - a ) 0.
Длины двух сторон треугольника a и b удовлетворяют условию a b, а длины соответствующих им высот равны ha и hb.
Доказать неравенство a + ha ≥ b + hb и определить, когда достигается равенство.
Докажите, что сумма длин любых двух медиан произвольного треугольника а) не больше ¾ P, где P – периметр этого треугольника; б) не меньше ¾ p, где p – полупериметр этого треугольника.
Отрезки AB и CD длины 1 пересекаются в точке O , причем AOC=60 o . Докажите, что AC+BD 1 .
Построим отрезок CB1 так, что четырехугольник ABB1C – параллелограмм, тогда AC=BB1 . Из треугольника BB1D получаем, что BB1+BD B1D и, следовательно, AC+BD B1D . Остается заметить, что треугольник CB1D равносторонний ( CD=CB1=1 , а B1CD= AOC=60 o ), и, значит, B1D=1 . Таким образом, получаем AC+BD 1 .
Точки C1, A1, B1 взяты на сторонах AB, BC, CA треугольника ABC так, что BA1 = . BC, CB1 = . CA, AC1 = . AB, причем 1/2 P треугольника ABC и периметр P1 треугольника A1B1C1 связаны неравенствами (2 -1)P P1 P.
Возьмем на сторонах AB, BC, CA точки C2, A2, B2 так, что A1B2| AB, B1C2| BC, C1A2| CA (рис.). Тогда A 1 B 1 A 1 B 2 + B 2 B 1 = (1 - ) AB + (2 - 1) CA . Аналогично B 1 C 1 ) BC + (2 - 1) AB и C 1 A 1 ) CA + (2 - 1) BC . Складывая эти неравенства, получаем P1 P. Ясно, что A1B1 + A1C B1C, т. е. A 1 B 1 + (1 - ) BC . CA . Аналогично B 1 C 1 + (1 - ) CA . AB и C 1 A 1 + (1 - ) AB . BC. Складывая эти неравенства, получаем P1 (2 - 1)P.