ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Основные формулы Момент силы F, действующей на тело, относительно оси вращения

1 ДИНАМИКА ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ ТВЕРДОГО ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ Основные формулы Момент силы F действующей на тело относительно оси вращения M = F l где F проекция силы F на плоскость перпендикулярную оси вращения; l плечо силы F (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы). Момент инерции относительно оси вращения: а) материальной точки J=mr где т масса точки; r расстояние ее от оси вращения; б) дискретного твердого тела J = n i= Δm i r i где m масса i-го элемента тела; r i i расстояние этого элемента от оси вращения; п число элементов тела; в) сплошного твердого тела J = r dm. Если тело однородно т. е. его плотность ρ одинакова по всему объему то dm=ρdv и J = r r dv где V объем тела. Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы: Момент Твердое тело Положение оси вращения инерции Тонкий стержень Перпендикулярна стержню и m длины проходит через центр тяжести Сплошной цилиндр радиуса R Тонкий диск радиуса R Шар радиуса R Ось вращения совпадает с осью цилиндра и проходит через центр тяжести Ось вращения совпадает с диаметром диска Ось вращения проходит через центр тяжести шара mr 4mR 5mR Теорема Штейнера. Момент инерции тела относительно произвольной оси J=J +ma

2 где J момент инерции этого тела относительно оси проходящей через центр тяжести тела параллельно заданной оси; а расстояние между осями; m масса тела. Момент импульса вращающегося тела относительно оси L=Jω. Закон сохранения момента импульса n i= L i = const где L i момент импульса i-го тела входящего в состав системы. Закон сохранения момента импульса для двух взаимодействующих тел J ω + Jω = J ω + J ω где J J ω и ω моменты инерции и угловые скорости тел до взаимодействия: J J ω и ω те же величины после взаимодействия. Закон сохранения момента импульса для одного тела момент инерции которого меняется J ω = Jω где J и J начальный и конечный моменты инерции; ω и ω начальная и конечная угловые скорости тела. Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси Mdt=d(Jω ) где М момент силы действующей на тело в течение времени dt; J момент инерции тела; ω угловая скорость; Jω момент импульса. Если момент силы и момент инерции постоянны то это уравнение записывается в виде М t=j ω. В случае постоянного момента инерции основное уравнение динамики вращательного движения принимает вид M=Jε где ε угловое ускорение. Работа постоянного момента силы М действующего на вращающееся тело A=Mϕ где ϕ угол поворота тела. Мгновенная мощность развиваемая при вращении тела N=Mω. Кинетическая энергия вращающегося тела T=/Jω Кинетическая энергия тела катящегося по плоскости без скольжения T== / mv + l / Jω где l / mv кинетическая энергия поступательного движения тела; v скорость центра инерции тела; l / Jω кинетическая энергия вращательного движения тела вокруг оси проходящей через центр инерции.

3 Работа совершаемая при вращении тела и изменение кинетической энергии его связаны соотношением J ω ω. A = J Величины характеризующие динамику вращательного движения и формулы описывающие это движение аналогичны соответствующим величинам и формулам поступательного движения. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ Задача. Маховик имеющий момент инерции I= кг м раскручивают так π что его угловая скорость изменяется по закону ω = ω sin ( t) где τ=4 с t ɷ =34 рад/с. Найти: момент внешних сил действующих на маховик через с после начала движения; запасенную к этому моменту времени кинетическую энергию. Дано: τ=4 с ɷ =34 рад/с π ω = ω sin ( t= с M=? E к =? Тогда t t ) Решение задачи В соответствии с уравнением динамики вращательного движения твердого тела момент М действующих сил связан с угловым ускорением ε формулой M z - проекция момента силы на ось вращения I z момент инерции маховика относительно оси вращения. Угловое ускорение находим воспользовавшись его определением: dω π π π πω 4π ε = = ω sin t cos t = sin t dt t t t t t πω 4π M = I sin t t t. M z = I z ε где и подставив заданные значения получим M= Кинетическая энергия вращающегося тела определяется по формуле Iω Iω 4 π E k =. Тогда E k = sin t. Подставляя заданные значения получим t Е к =493 Дж. Ответ: M=; Е к =493 Дж. Задача. Через блок в виде однородного диска массой 3 г вращающегося вокруг горизонтальной оси перекинута невесомая и нерастяжимая нить на концах которой прикреплены грузы массой m =3 г и m = г. Пренебрегая трением в оси блока найти линейное ускорение грузов и силы натяжения нитей. Решение задачи 3

4 Дано: m=3 г m =3 г m = г a=? T =? T =? T бл N mg R T бл g Представим рисунок. Расставим силы T a действующие на тела участвующие в a движении. Грузы движутся прямолинейно поэтому для Y m g m g описания их движения достаточно одной оси Y направленной вертикально вниз (по движению более тяжёлого груза). По второму закону Ньютона уравнение движения каждого груза имеют вид: T + mg = ma (для первого груза) T + mg = ma (для второго груза). Так как нить нерастяжима поэтому грузы будут двигаться с ускорениями равными по модулю ( a = a = a ) но направленными в противоположные стороны. Проектируя уравнения движения на ось Y получим: m g T = ma mg T = ma. Блок вращается вокруг неподвижной горизонтальной оси проходящей через его центр поэтому момент силы тяжести блока и момент силы реакции оси равны нулю. Так как нить движется без скольжения относительно блока то вращение блока вызывается действием сил натяжения T бл и T бл. Основное уравнение вращательного движения твердого тела тогда имеет вид: M + M = Iε где M M - моменты сил натяжения нити T бл и T бл модули которых равны соответственно M = TблR ; M = TблR где R плечо силы T бл и T бл (радиус диска). В проекции на ось вращения блока уравнение вращательного движения примет вид M M = Iε или Tбл R TблR = Iε. Учитывая что угловое ускорение связано с тангенциальным ускорением ε = a а из условия нерастяжимости нити следует что T R бл = T и T бл = T запишем a ( T T ) R = I. R T 4

5 mr Момент инерции диска равен I =. Решая совместно систему уравнений: m g T = ma mg T = ma a ( T T ) R = I R m m получим a = g m m + m + m (m + m ) m (m + m ) T = g и T = g. m m + m + m m + m + Подставляем числовые значения получим a=5 м/с T =49 Н; T =6 Н. Ответ: a=5 м/с T =49 Н; T =6 Н. Задача 3. Стержень из однородного материала массой m =6 г и длиной l =5 см висит вертикально в положении равновесия. Он может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси OZ проходящей через один из его концов. В точку отстоящую от оси вращения на расстоянии l =4 см попадает пуля массой m = г летящая горизонтально со скоростью 4 м/с перпендикулярно оси вращения стержня. Пуля застревает в стержне. Найти угловую скорость ɷ с которой начинает вращаться стержень сразу после попадания пули и максимальный угол отклонения стержня φ. Дано: l =5 см l =4 см m =6 г m = г v =4 м/с ɷ=? φ=? Решение задачи Представим рисунок Расставим силы действующие на стержень. На стержень действуют сила нормальной реакции опоры N приложенная в точке О и сила тяжести m g приложенная к центру масс стержня. На пулю действует сила тяжести m g. В течение взаимодействия (удара) пули со стержнем моменты сил N m g m g относительно точки О равны нулю так как линия их действия проходит через эту точку (плечо силы равно нулю). Таким образом для системы «пуля стержень» можно применить закон сохранения момента импульса относительно точки О: L сист = L сист 5

6 О N ω О L сист v r l m g l m g φ где L сист L сист - моменты импульса системы до и после взаимодействия. Учитывая что система состоит из двух тел можно записать: L + L = L + L где L L - моменты импульса стержня и пули до взаимодействия; L L - моменты импульса стержня и пули после взаимодействия. До взаимодействия с пулей стержень был неподвижен следовательно его момент импульса L =. Момент импульса пули L движущейся поступательно L [ v = r m ] где r - радиус-вектор пули относительно точки О m масса пули v - скорость пули в момент удара о стержень. После абсолютно неупругого соударения стержень и пуля будут двигаться вместе начиная вращение относительно оси Z с угловой скоростью ω поэтому L ω ω ( ) + L = I = I ω где I и I - моменты инерции стержня и пули относительно оси вращения Z. Таким образом закон сохранения импульса приобретет вид [ r m ] ( ) v = I ω. В проекции на ось Z совпадающей с направлением ω уравнение движения можно записать в следующем виде: l mv = (I )ω. Моменты инерции стержня и пули относительно оси вращения Z равны ml соответственно: I = и I = ml. Подставляя выражения для моментов 3 инерции I и I в уравнение движения и решая его относительно угловой 3ml скорости ɷ получим ω = v. Подставляя исходные данные ml + 3ml получим ɷ=3 рад/с. h h 6

7 Для определения угла отклонения стержня воспользуемся законом сохранения механической энергии: Н В E м = EМ Н В где E м и E М - механическая энергия системы в нижнем и верхнем положениях стержня. Н Механическая энергия системы E м сразу после попадания пули (в момент окончания неупругого удара): Н Н Н ( I ) ω EМ = EК + EП = + mgh + mgh где h и h высота центров масс стержня и пули относительно поверхности Земли. В Механическая энергия E М системы в момент наибольшего отклонения стержня от вертикали (в момент окончания вращательного движения): В В EМ = ЕП = mgh + mgh где h и h - высота центров масс стержня и пули относительно поверхности Земли в верхнем положении. Н В ( I ) ω Так как E м = EМ то + mgh + mgh = mgh + mgh после преобразований получим: ( I ) ω = mg h + mg h где Δh и Δh высота подъема центров масс стержня и пули соответственно которые можно найти воспользовавшись рисунком l h = ( cosϕ) ; а h = l ( cosϕ). Решая уравнения ( I ) ω = mg h + mg h l h = ( cosϕ) h = l ( cosϕ) ( m l + 3ml ) ω совместно относительно φ находим: ϕ = arccos. g(3ml + 6ml ) Подставляя числовые значения получим φ=338. Ответ: ɷ=3 рад/с φ=338. Задача 4. Определить момент инерции медного диска радиусом R=6 см в котором сделаны два выреза в виде кругов радиусом r= см. Центры вырезов находятся на прямой проходящей через центр диска на расстоянии l=3 см от 7

8 него. Толщина диска d= см. Ось вращения проходит через центр диска и перпендикулярна его плоскости. Дано: R=6 см r= см l=3 см d= см ρ=89 кг/м 3 I z =? Решение задачи Обозначим момент инерции сплошного диска радиусом R и массой M относительно оси проходящей через центр тяжести перпендикулярно плоскости диска l MR I =. O O r R Момент инерции круглого отверстия (отверстие в виде круга) радиуса r и массой m относительно оси проходящей через центр отверстия (через точку О ) перпендикулярной его плоскости mr I rh =. По теореме Штейнера момент инерции круга относительно оси проходящей через центр диска mr (через точку О) равен I z = + ml где l - расстояние между осями О и О. Следовательно момент инерции диска относительно оси проходящей через MR mr точку О перпендикулярно плоскости диска I = = z I I z + ml. Массы диска и круга соответственно равны M = ρπr d и m = rπr d где d - толщина диска; ρ плотность меди. R 4 После подстановки окончательно получим: I = z rπ d r r l. Подставляя заданные значения находим: I z = 6-4 кг м. Ответ: I z = 6-4 кг м. Задача 5. Человек стоит в центре скамьи Жуковского и вместе с ней вращается по инерции с частотой n = 5 с -. В вытянутых руках человек держит по гире массой m= кг каждая. Исходное расстояние между гирями l = 6 м. Какой будет частота вращения n скамьи с человеком когда он опустит руки и расстояние между гирями станет равным l =4 м? Считать что момент инерции тела человека и скамьи относительно оси вращения не изменяется и равен I =6 кг м. Решение задачи 8

9 Дано: n =5 с - l =r =4 м l =r =6 м m= кг I =6 кг м n =? угловой скоростью Скамья Жуковского представляет собой горизонтальную платформу (диск) которая может свободно вращаться без трения вокруг вертикальной оси ОО. Человек сидит на скамье и держит в вытянутых руках гимнастические гантели и вращается вместе со скамьей вокруг оси ОО с ω. О О ω ω Поскольку момент внешних сил (сил тяжести и реакции подшипников) относительно оси ОО равен нулю то момент импульса системы относительно оси ОО сохраняется: ( I + mr ) ω = ( I + mr ) ω где I момент инерции человека и скамьи относительно оси ОО mr и mr моменты инерции гантелей в первом и втором положениях относительно оси ОО m масса одной гантели r и r расстояния от гантелей до оси вращения ω и ω угловые скорости вращения системы. Учитывая взаимосвязь угловой скорости и частоты вращения ω = πn выразим искомую частоту: ( I + mr ) n = ( I + mr ) n I I или n = n. Подставляя заданные значения получим n =8 с -. + mr + mr О О Ответ: n =8 с -. 9