Задачи по теме «Прямая и правильная призмы»

\(\blacktriangleright\) Призма называется прямой, если ее боковые ребра перпендикулярны основаниям.Тогда:

1) боковые грани представляют собой прямоугольники;

2) боковое ребро является высотой призмы.

\(\blacktriangleright\) Призма называется правильной, если она прямая и ее основания – правильные многоугольники.Тогда:

боковые грани представляют собой равные прямоугольники.

Дана правильная четырехугольная призма, диагональ которой равна \(15\) , а диагональ основания равна \(10\sqrt2\) . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пусть \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – данная призма. Так как она правильная, то в основании лежит квадрат и она является прямой. Тогда \(\triangle BB_1D\) прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора \[BB_1=\sqrt=5.\] Так как диагональ квадрата в \(\sqrt2\) раз больше его стороны, то \[AB=\dfrac=10.\] Следовательно, \[S_=2S_+4S_=2\cdot 10^2+4\cdot 10\cdot 5=400.\]

Дана прямая призма, в основании которой лежит равнобедренная описанная около окружности трапеция \(ABCD\) с боковой стороной, равной \(5\) , и высотой, равной \(3\) . Боковое ребро призмы равно \(2\) . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Пусть \(AB=CD=5\) . Так как трапеция описанная, то суммы противоположных сторон равны, следовательно, \(AD+BC=AB+CD=10\) . Следовательно, ее площадь равна \[S_=\dfrac2\cdot h=\dfrac2\cdot 3=15.\] Площадь боковой поверхности призмы равна \[S'=(AB+BC+CD+AD)\cdot AA_1=(10+10)\cdot 2=40.\] Следовательно, площадь полной поверхности равна \[S_=40+15+15=70.\]

\(ABCA_1B_1C_1\) – правильная треугольная призма, \(AB = \sqrt[4]\) , \(AA_1 = \sqrt[4]\) . Найдите площадь полной поверхности призмы.

Площадь равностороннего треугольника со стороной \(a\) равна \(\dfrac\) , тогда

Таким образом, площадь полной поверхности \(ABCA_1B_1C_1\) равна \[2\cdot\dfrac + 3\cdot 3 = 10,5.\]

В прямоугольной треугольной призме все боковые грани являются квадратами со стороной \(10\sqrt3\) . Найдите объем призмы.

У квадрата все стороны равны \(\Rightarrow\) в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники со сторонами, равными \(10\sqrt3\) .

Тогда площадь основания: \(\displaystyle S_ = \frac\cdot10\sqrt3\cdot10\sqrt3\cdot\sin 60^\circ = \frac\cdot10\sqrt3\cdot10\sqrt3\cdot\frac = 75\sqrt3\) . Высота призмы равна стороне квадрата, тогда объем призмы: \[10\sqrt3\cdot75\sqrt3 = 2250.\]

Дана правильная треугольная призма. Площадь основания равна площади одной из боковых граней и равна \(4\sqrt3\) . Найдите объем призмы.

Так как призма является правильной, то в основаниях призмы лежат равносторонние треугольники, поэтому все боковые грани равны друг другу и являются прямоугольниками. Обозначим высоту призмы за \(h\) , а сторону правильного треугольника за \(x\) . Тогда найдем площадь основания: \(\displaystyle S_ = \frac\cdot x^2\cdot\sin 60^\circ = \frac\cdot x^2\cdot\frac = \frac\cdot x^2 = 4\sqrt3\) \(\Rightarrow\) \(x^2 = 16\) \(\Rightarrow\) \(x = 4\) . Высоту выразим из формулы для площади боковой грани: \(S = 4\sqrt3 = x\cdot h = 4\cdot h\) \(\Rightarrow\) \(h = \sqrt3\) . Наконец, найдем объем призмы: \[V = h\cdot S_ = \sqrt3\cdot4\sqrt3 = 12.\]

В правильной четырехугольной призме \(ABCDA_1B_1C_1D_1\) известно, что \(DB_1=2CD\) . Найдите угол между диагоналями \(AC_1\) и \(B_1D\) . Ответ дайте в градусах.

Так как призма четырехугольная и правильная, то в основании лежит квадрат и она прямая. Следовательно, \(AD=CD\) и \(DB_1=2AD\) .Диагонали призмы пересекаются и точкой пересечения \(O\) делятся пополам, следовательно, \(OD=\frac12DB_1=AD\) . Так как призма правильная, то диагонали равны, значит, \(AO=OD=AD\) . Следовательно, \(\triangle AOD\) правильный и \(\angle AOD=60^\circ\) . Это и есть угол между \(DB_1\) и \(AC_1\) .

В правильной треугольной призме \(ABCA_1B_1C_1\) , все ребра которой равны \(1\) , найдите угол между прямыми \(AA_1\) и \(CB_1\) . Ответ дайте в градусах.

Для того, чтобы найти угол между прямыми, не лежащими в одной плоскости, нужно одну из прямых параллельно перенести в плоскость, в которой лежит вторая прямая. Заметим, что \(BB_1\parallel AA_1\) . Следовательно, угол между \(AA_1\) и \(CB_1\) равен углу между прямыми \(BB_1\) и \(CB_1\) .Так как все ребра призмы равны, то грань \(BCC_1B_1\) представляет собой квадрат, где \(CB_1\) – диагональ. Следовательно, \(\angle BB_1C=45^\circ\) .

Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.

При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Основные моменты, которые стоит запомнить

• Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
• Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры — равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.

Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» — залог вашего успеха!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.

Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или площадь боковой поверхности призмы прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.