Определение траектории свободного движения гиростабилизированного тела через проективно-двойственные переменные Текст научной статьи по специальности «Физика»

Развитый ранее метод перехода к проективно-двойственным переменным применён для интегрирования уравнений свободного движения в трансзвуковой области гиростабилизированного тела (снаряда), обладающего в среде квадратичными по скорости V сопротивлением R = αV 2 ≫ mg и относительно слабой подъёмной силой L = γV 2 ≈ 0,02–0,1mg, коэффициенты α(

Похожие темы научных работ по физике , автор научной работы — Чистяков Виктор Владимирович

Determining the Trajectory of a Gyroscopically Stabilized Projectile in Air by Using Dual-Projective Variables

Early developed method of integrating the ballistic equations in dual-projective variables was applied for the gyroscopically stabilized projectile under action of relatively weak lift force L = γV 2 ≈ 0.1mg and the force of air drag R = αV 2 ≫ mg, both their coefficients α(

Текст научной работы на тему «Определение траектории свободного движения гиростабилизированного тела через проективно-двойственные переменные»

Определение траектории свободного движения гиростабилизированного тела через проективно-двойственные переменные

Кафедра электрификации ФГБОУ ВПО «Ярославская государственная сельскохозяйственная академия» Россия, 150042, Ярославль, Тутаевское шоссе, 58

Развитый ранее метод перехода к проективно-двойственным переменным применён для интегрирования уравнений свободного движения в трансзвуковой области гиростабилизированного тела (снаряда), обладающего в среде квадратичными по скорости V сопротивлением Я = аУ2 ^ тд и относительно слабой подъёмной силой Ь = 7V2 « 0,02— 0,1 тд, коэффициенты а(в) и ^(в) которых зависят от угла атаки в по интерполяционным формулам для баллистических данных. Получены как абсолютно точные, так и приближённые аналитические выражения для резольвентной функции /(Ь) = аЦь(Ь) (а(Ь) — подкасательная, Ь = tgв — угловой коэффициент), через которую выражаются все характеристики движения.

Ключевые слова: квадратичный закон сопротивления, угол атаки, гиростабили-зированный, проективно-двойственный, баллистический, подъёмная сила, траектория.

1. Свободное движение с квадратичным сопротивлением

В трансзвуковой области с числами Маха М > 2 сопротивление движению R в среде с хорошей точностью описывается квадратичной по скорости V формулой Рэлея R = CdpSV2/2 = amgV2, где р — плотность газа, S — фронтальная площадь, Са — коэффициент формы движущегося тела.

Начиная с пионерского исследования Леонардо Эйлера [1] и вплоть до наших дней различным аспектам интегрирования уравнений свободного движения в такой среде точечной массы посвящается значительное число работ. Интерес поддерживается сугубо практическим значением темы для внешней баллистики (см., например, [2,3]), а в наши дни — также для спорта [4] и даже компьютерной анимации.

Кроме того, проблема представляет интерес и для нелинейной динамики и вычислительной механики (Computational Mechanics) в плане пополнения арсенала средств и методов решения нелинейных же систем обыкновенных дифференциальных уравнений, получения новых фактов и выработки новых алгоритмов приближённого интегрирования в практически важных задачах.

Также и теория движения твёрдого тела под действием аэродинамических сил и моментов среды насчитывает долгую историю и является вполне сформировавшейся отраслью механики и математической теории динамических систем с диссипацией (см., например, обзор [5] и библиографию в нём). Отраслью, интенсивно развивающейся в настоящее время, выдвигающей на повестку дня не только фундаментальный, но и прикладной аспект решаемых задач в плане развития новых технологий различного направления — от сверхточной баллистики до беспилотной авиации.

Ранее была продемонстрирована эффективность и высокая точность интегрирования нелинейных уравнений резистивного движения при помощи метода, опирающегося на преобразования Лежандра [6-8]. Переход к проективно-двойственным переменным позволял избавиться от временного фактора — маловажного в проблеме, которая предстаёт тем самым задачей дифференциальной геометрии траектории движения.

Статья поступила в редакцию 11 июня 2012 г.

Метод также рассматривал движение именно материальной точки с постоянными во времени коэффициентом формы Са и площадью фронтального сечения что в идеале верно лишь для сферически симметричного снаряда, т.е. ядра. Но одна из проективно-двойственных переменных — угловой коэффициент касательной к траектории Ь = tg в позволяет учитывать изменение угла атаки тела вращения в полёте, а вместе с ним и резистивных параметров, в случае, если ориентация тела в пространстве остается неизменной.

Именно такая ситуация имеет место в баллистике за счёт стабилизации вылетающего осесимметричного снаряда значительным кинетическим моментом вращения вокруг главной оси инерции. Также близость центров аэродинамических сил и тяжести обеспечит невращение тела.

Настоящая работа демонстрирует вычислительные и точностные возможности метода, а также — полученные с помощью его результаты при интегрировании уравнений свободного движения в однородной среде тела неизменной ориентации в пространстве. При этом также учитывается действие подъёмной силы, уступающей по величине лобовому сопротивлению и составляющей величину порядка 5-10% от силы тяжести снаряда.

2. Задача в проективно-двойственных переменных 2.1. Проективно-двойственные координаты

В каждой точке баллистической траектории вектор скорости У составляет свой уникальный угол в с горизонтом, равно как уникальны и параметры в уравнении касательной у1 = а + Ьх: угловой коэффициент Ь = tg в и прерывание а(в(Ъ)) = а(Ь) (рис. 1), изменяющиеся монотонно от своих стартовых значений — Ь0 = tg в0 > 0 и а0 = 0. Следовательно, альтернативно траектория описывается через касательное расслоение как а = а(Ь), Ь = Ь(£), t е ].

Рис. 1. Баллистическая траектория гиростабилизированного тела (сплошная линия) и её касательное расслоение (штриховая линия): Ь — подъёмная сила, К — лобовое сопротивление

В точке траектории с абсциссой х подкасательная (intercept) а и наклон b суть — а = у — Ьх, у = Ьх, следовательно,

т- а - $ - а(Ьо) - ¿ОЫЬо — / У ^ ЛИ.

Таким образом, вышеприведённые соотношения определят в параметрическом виде траекторию движения тела, при этом параметр имеет нужный физический смысл — наклон вектора скорости .

2.2. Аэродинамические силы

Вектор силы лобового сопротивления есть К — —атдУУ, подъёмная сила Ь — 7тдУ2п, п — единичный вектор внешней нормали к траектории. Аэродинамические моменты считаются неспособными вызвать значительную прецессию и нутацию и тем самым нарушить ориентацию быстро вращающегося тела из-за чрезвычайно высокого фактора его стабильности Бд [2,3], в идеале стремящегося в бесконечность.

Соответствующие коэффициенты лобового сопротивления а и подъёмной силы 7 зависят от угла атаки § — во — в — разности между начальным (во) и текущим ( в) углами наклона вектора скорости V. То есть тоже зависят от проективной переменной Ь — tg в и параметра Ь0 — tg в0.

Исходные уравнения движения составят систему

После подстановки координат нормального вектора п — , уГ+р) и ско-

рости V — х\/1 + Ъ2 получается

х — —а(Ь)дх\/х2 + у2 —7 (Ь)дЬ\/1 + Ъ2х2, у — — а( Ь)д у \] х2 + у2 + 7(Ь)дЬ\/1 + Ъ2х2 — д.

2.3. Уравнение связи

Умножением верхнего уравнения (2) на Ь и последующим вычитанием его из нижнего получается

у — Ьх — — д + 7 (Ь)д х2(1 + Ь2)3/2. С учётом соотношения у — Ьх это означает

Ьх — — д + 7 (Ь)дх2(1 + Ь2)3/2. (3)

Дифференцированием выражения для абсциссы (1) — х — — > 0 и подстановкой его в (3) получается уравнение кинематической связи темпа поворота

вектора V с дифференциальной геометрией траектории

Полученное уравнение справедливо для любого лобового сопротивления, вплоть до невозможной из-за причинно-следственной связи тяги [6] или гипотетической «следящей силы», поддерживающей постоянство модуля скорости V в резистив-ной среде с переменной диссипацией [5].

Из двух корней разных знаков

выбирается отрицательный, так как при слабой подъёмной силе угол наклона V убывает.

Тогда скорость определится как

VСМ = ёЖ Ш + />2)1/2 - I д(1 + Ь2)а'Ъъ (6)

V(Ь)-ТЬЬ(1 + Ь) -р + 7(Ь)да'ЪЪ(1-Н 62)3/2 . (6)

Для квадрата темпа потери наклона

Для второй производной — «углового ускорения» — получается выражение

2 К + д7( Ь)( а'ЪЪъ )2(1 + Ь2)3/2)

2.4. Начальные условия

Если считать, что движение начинается из начала координат, то из (1) следует

^ - -х(Ьо) - 0, а(Ы - У(Ь0) + - 0.

Что касается второй производной, то её начальное значение получается решением иррационального уравнения (6) при Ь - Ьо. Оно, тем не менее, имеет единственное решение

ё Ь2 д(1 + Ь 0)(1 -7 (Ьо)д ^2(1 + Ъ0Ъ)1/2У в первом порядке по величине подъёмной силы Ь приближаемое как

Стоит заметить, что соотношение (9) получено из (6) без каких-либо предположений о величине Ь, и оно остается верным при положительном знаке корня

в (5). Тогда при достаточно большой скорости V0 > ^знак а"Ьо) изменится

на противоположный, и будет (3) Ь > 0: тело полетит по вогнутой траектории.

Также достойно внимания то, что две из трёх действующих сил — Ь и тд вошли в начальное условие (9), между тем как для динамических систем в исходном виде начальные условия по положениям и скоростям полностью независимы от сил.

Формула (9) учитывает общий случай наличия подъёмной силы на старте, однако для осесимметричных тел, полётная стабилизация которых обеспечивается значительным кинетическим моментом, величина 7(Ьо) - 0, и начальные условия сохраняются в неизменном виде.

3. Зависимость от угла атаки

Угол атаки легко определится как § = arctg bo — arctg b. При нулевом его значении имеет место минимум сопротивления R, и можно предложить разные зависимости.

Плавное поведение, например,

a = ao(1 + e|§fc|) = «o(1 + е| arctg bo — arctg Цк), к = 2, 3,4. (10)

Однако более корректно с математической точки зрения поведение

a = a0(1 + esinfc |§|) = a0(1 + е sinfc | arctgb0 — arctg6|), к = 2, 3,4. (11)

учитывающее многозначное представление угла.

Другой тип зависимостей предполагает так называемую шатровую (cusp) особенность в нуле

a = a0(1 + е|§|) = a0(1 + е| arctgb0 — arctg6|) (12)

a = a0(1 + esin |§|) = a0(1 + esin | arctgb0 — arctg6|) =

(Во всех вышеприведённых формулах модуль используется лишь затем, чтобы подчеркнуть особенности углового поведения коэффициента — реально угол атаки знака не меняет.)

Регрессионный анализ баллистических данных [3] для профилей пуль 7,62 мм (M118, M168grain, M190) показывает, что в трансзвуковой области при чрезвычайно высоком скорректированном коэффициенте детерминации adj —R2 = 0,9980,999 реализуются как шатровые, так и плавные зависимости, причём для последних показатель степени может доходить до к = 5. (Анализ также выявил слабую степенную зависимость коэффициента от стартового числа Маха Mo = тг0 с по-

казателем (—0,4)-(—0,3), но учёт зависимости показателя степени в формуле для коэффициента a [8] — не предмет настоящего исследования.)

Однако в баллистической литературе принята формула (13) со значением показателя к = 2. В табл. 1 приведены результаты регрессионного анализа для

коэффициента сопротивления баллистического профиля M118 [3], определяемого отношением силы F к половине произведения плотности среды на квадрат скорости и фронтальную площадь — pV2S/2.

Model is: а = а0 (1 + е • (sin tf)2) • Мк (BRLM118_cut) Dep. Var.: Cd Level of

confidence: 95,0% (a = 0,050)

Estimate Standard Error ¿-value — d f = 9 p-level Lo. Conf. Limit Up. Conf. Limit

ао 0,45928 0,004750 96,6939 0,000000 0,44854 0,47003

£ 14,46649 0,701601 20,6193 0,000000 12,87936 16,05363

к -0,37562 0,016327 -23,0054 0,000000 -0,41256 -0,33869

Что касается подъёмной силы, то для осесимметричных тел её коэффициент во всех случаях моделируется простой формулой

(Однако реально угловая зависимость коэффициента подъёмной силы у летательных аппаратов отличается от (14) и характеризуется наличием критического угла атаки, при котором происходит её исчезновение, приводящее к падению аппарата.)

4. Учёт роста коэффициента лобового сопротивления

Без учёта подъёмной силы «угловая скорость» и «угловое ускорение» определятся как Ь — и Ь — — 0?ь/м2.

Уравнение для горизонтальной координаты запишется следующим образом

и при подстановке в него угловых характеристик преобразуется к виду

Подстановка шатровой формулы (13) для коэффициента сопротивления а(Ь) даёт

Интегрирование с начальными условиями (9) определит резольвенту

97( 0) 0 ' sa0g(b0 — b)2

+ a0 g(bo\J 1 + b'2 + arcsh&o — b\J 1 + 62 — arcshfe) —

Аналогично, интегрирование с использованием также шатровой формулы (12) даёт

+ од д(1 + earctgfr о — £ arctg b)(bo\J 1 + b2 + arcshfr о — bVl + b2 — arcsh b)+ Л2 n,-frarcsh b l2 Г

+ a0£g[b2 + У1 + b2 + — b2 — ^1 + b2 — ^ + 0 J —

f b'2arcshb' — 2 aoeg I --т d b

у которой последний член в скобках имеет 4-й порядок малости по переменной b < 0,3 в области прицельного огня (direct fire) .

Для плавного поведения (10) с к = 2 получается

+ од (1 + £ Ь2 — e)g(bo\j1 + б2 + arcsh60 — 1 + 2 — arcsh )+

+ 2 аоед [Ь2 + ^ + | — 6 — 4 — 3

И, наконец, для уравнения с использованием формулы (11) с к = 2

резольвента имеет вид

+ 2 + arcsh — 1 + 2 — arcsh ) + 1 + 2 0

од^о / Л , ,2 /, , ,2ч 2да0e(b20 — 1)(arcsh6 — arcsh60)

Эта формула будет считаться основной, так как получена на основе принятой в баллистической литературе зависимости коэффициента лобового сопротивления от угла атаки. Характерный вид её графика в сравнении с аналогичной кривой для точечной массы (рис. 2а) показывает нарастающее отставание стабилизированного тела от точки, что сказывается на траектории и на дальности (рис. 2б).

Рис. 2. Сравнение кривой зависимости коэффициента лобового сопротивления от угла атаки и аналогичной кривой для точечной массы:

а) резольвентные функции а'ь'ь(Ь)/м точечной массы (1), гиростабилизированного тела (2); б) траектории тела и точечной массы,

во = 20°, Уо = 700 м/с, £ = 15

. Учёт подъёмной силы

Во всех полученных формулах учитывается возможное изменение начального условия (9) подъёмной силой, не реализующееся для тела вращения, но только для тела, обладающего подъёмной силой в момент старта.

Стабилизация ориентации тела приводит к появлению и росту угла атаки, а следовательно — к асимметрии обтекания и возникновению подъёмной силы Ь, вносящей вклад в резольвентную функцию а'1ь.

Уравнение для последней в условиях действия Ь выводится аналогичным образом и записывается как