Конус. 1) Длина образующей конуса равна 10 см, а высота конуса 6 см. Вычислите радиус основания конуса.

1 Конус По-гречески «конус» означает сосновая шишка. Круговым конусом называется тело, которое состоит из круга основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, - вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Прямым круговым конусом (или просто конусом) называется тело, полученное в результате вращения прямоугольного треугольника вокруг оси, проходящей через один из его катетов. Основанием конуса называется круг, границей которого служит окружность (О, R). Точка S называется вершиной конуса. Высотой конуса называется отрезок SO, где S вершина конуса, а точка О центр его основания, прямая SO называется осью конуса. Высотой конуса называется перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. У прямого конуса основание высоты совпадает с центром основания. Образующей конуса (SA) называется отрезок соединяющий вершину конуса с точкой окружности основания. Все образующие конуса равны. Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Задание 1. Решите задачу 1) Длина образующей конуса равна 10 см, а высота конуса 6 см. Вычислите радиус основания конуса. 2) Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите образующую конуса. 3) Высота конуса равна 4 3 см. Угол между высотой и образующей конуса 30 о. Найдите радиус основания конуса. 4) Образующая конуса, равная 12 см, наклонена к плоскости основания под углов в 30 О. Найдите площадь основания конуса. 5) SA образующая конуса, точка О центр его основания. Вычислите расстояние от точки О до середины F образующей SA, если радиус основания конуса равен 6 см, а его высота 8 см π 5

2 6) Отрезки ТО и ТА высота и образующая конуса соответственно. Точка F лежит на луче ОА так, что точка А есть середина отрезка FO. Через середину D высоты и точку F проведена прямая, которая пересекает конус в точке Е. Вычислите длину отрезка АЕ, если длина образующей конуса равна 9 см. У3 Осевое сечение конуса Сечение, проходящее через ось конуса, называется осевым сечением. SAB осевое сечение конуса. Задание 2. Решите задачу 1) Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник, площадь которого равна 25 см 2. Найдите радиус основания конуса. 2) Радиус основания конуса равен 2 см, а его высота 5 см. Вычислите площадь осевого сечения конуса. 3) Площадь осевого сечения конуса равна 50 см 2, а высота конуса 10 см. Вычислите радиус основания конуса. 4) Осевое сечение конуса прямоугольный треугольник. Найдите его площадь, если радиус основания конуса равен 5 см

3 Сечение конуса плоскостью Теорема. Плоскость, перпендикулярная к оси конуса, пересекает конус по кругу, а боковую поверхность по окружности с центром на оси конуса. Доказательство. Рассмотрим плоскость α, перпендикулярную к оси конуса, пересекающую конус. Выполним преобразование гомотетии относительно вершины конуса, совмещающее плоскость α с плоскостью основания. Это преобразование совмещает сечение конуса плоскостью α с основанием конуса. Значит, сечение конуса плоскостью α есть круг, а сечение боковой поверхности окружность с центром на оси конуса. Задание 3. Решите задачу Теорема доказана. 1) Высота конуса равна 8 дм. На каком расстоянии от вершину конуса надо провести плоскость, параллельную основанию, чтобы площадь полученного сечения была равна половине площади основания? 2) Высота конуса равна 10 см. Найдите площадь сечения, проходящего через вершину конуса и хорду основания, стягивающего дугу в 60 О, если плоскость сечения образует с плоскостью основания конуса угол в 30 О ) Через вершину конуса и хорду основания, стягивающую дугу в 120 О, проведено сечение, составляющее с плоскостью основания угол в 45 О. Найдите площадь сечения, если радиус основания равен 4 см.

4 Развертка боковой поверхности конуса Боковой поверхностью конуса называется фигура, образованная всеми образующими конуса. Теорема. Площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую. S бок = RL, где R радиус основания конуса, L его образующая. Доказательство. Рассмотрим конус с радиусом основания R и образующей L. Боковую поверхность конуса разрежем по образующей и развернем на плоскость. Получили сектор круга радиусом L; дуга, ограничивающая сектор, равна длине окружности основания конуса. Площадь этого сектора S= CL= 2πRL= πrl. Следовательно, площадь боковой поверхности конуса S бок = RL, где R радиус основания конуса, L его образующая. Задание 4. Решите задачу Теорема доказана. 1) Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с центральным углом 120 О и хордой см. чему равно значение, если V объем конуса. 2) Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с центральным углом 90 О и хордой см. Чему равно значение, если V объем конуса. 3) Развертка боковой поверхности конуса представляет собой треть круга радиуса см. Найдите площадь основания конуса. 4) Развертка боковой поверхности конуса представляет собой полукруг круга радиуса см. Найдите объем конуса

5 5) Радиус основания конуса равен, а угол при вершине в развертке его боковой поверхности равен 90 О. Найдите объем конуса. 5 6) Найдите длину высоты конуса, если развертка боковой поверхности конуса представляет собой четверть круга радиуса 60. 7) Вычислите центральный угол развертки боковой поверхности конуса, если его высота равна 8 см, а радиус основания равен 6 см. 8) Высота конуса равна 12 см, а его объем равен 324π см 3. Найдите угол сектора, который получится, если боковую поверхность конуса развернуть на плоскостью 9) Высота конуса равна см, а его осевым сечением является равносторонний треугольник. Вычислите величину центрального угла развертки боковой поверхности конуса. 10) Площадь боковой развертки конуса равна 72 см 2, а площадь осевого сечения 36 3 см 2. Найдите длину образующей конуса. 11) Найдите дугу сектора, представляющего собой развертку боковой поверхности конуса, если образующая конуса составляет с плоскостью основания угол в 60 О. 12) Найдите угол при вершине осевого сечения конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор с дугой, равной 180 О. 13) Вычислите площадь основания конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120 О. 14) Вычислите высоту конуса, если разверткой его боковой поверхности является сектор, радиус которого равен 9 см, а дуга равна 120 О О О 60 О 9π 6

6 Площадь боковой и полной поверхности конуса Площадью полной поверхности конуса называется сумма площадей его боковой поверхности и основания. S полн.пов = RL+ R 2. Пример 1. Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60 О, а радиус описанной около него окружности равен 4 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. Дано: АТВ=60 О, R=4 см Найти: S бок Площадь боковой поверхности находится по формуле S бок = rl, где r радиус основания конуса, l образующая конуса. r=ов=, l=тв. S бок = ОВ ТВ. Из треугольника АТВ по теореме синусов АВ/sin60 О =2R, значит, АВ=2Rsin60 О, OB=AB/2=Rsin60 О =2 см. Из прямоугольного треугольника ТОВ ( ТОВ=90 О, OB=2 ) длина гипотенузы ТВ=ОВ/sin30 О =2OB=4 см. Отсюда S бок = Rl= S бок = ОВ ТВ= 2 4=24 см 2. Ответ: 24 см 2 Пример 2. Прямоугольный треугольник АСВ, длины катетов которого равны 4 см и 2 см, вращается вокруг большего катета АС. Вычислите площадь полной поверхности конуса, полученного при вращении треугольника АСВ. Дано: АС=4 см, ВС= 2см Найти: S полн Площадь полной поверхности конуса находится по формуле S полн = R(R+l), где R радиус основания конуса, l образующая. Образующая l конуса равна гипотенузе АВ, т.е. l=ав= АС 2 СВ 2 =2 см. Радиус R основания конуса равен катету ВС, следовательно, площадь

7 полной поверхности конуса S полн = R(R+l)= 2(2+2 )=4 (1+ ) см 2. Ответ: 4 (1+ ) см 2 Пример 3. Равнобедренный треугольник вращается вокруг своей высоты. Найдите длины сторон треугольника, если его периметр равен 30, а площадь полной поверхности тела вращений равна 60π. Дано: Р=30; S пов =60π Найти: АВ; АС; ВС Обозначим АВ=АС=b; ВС=а. Тогда Р=а+2b=30. S пов =S бок +S осн. S бок = ; S осн =. Так как S пов =60π, то + =60π; + =60; 2ab+a 2 =240; a(2b+a)=240. Получили систему двух уравнений:. Ответ: 11; 11; 8 1) Задание 5. Решите задачу Равнобедренный треугольник с длиной основания и высотой вращается вокруг высоты. Найдите площадь полной поверхности фигуры вращения. 12,5 2) Равносторонний треугольник вращается вокруг высоты длиной. Найдите площадь полной поверхности фигуры вращения. 76 3) Прямоугольный треугольник с катетами и вращается вокруг меньшего катета. Найдите площадь полной поверхности фигуры вращения. 4) 6 8 Прямоугольный треугольник с катетами длиной см и см вращается вокруг меньшего катета. Найти площадь полной

8 поверхности фигуры вращения. 5) Равнобедренная трапеция, основания которой равны 6 см и 10 см, а острый угол 60 О, вращается вокруг большего основания. Вычислите площадь поверхности полученного тела. 6) Прямоугольный треугольник вращается вокруг катета длиной 6 см. Найдите длину другого катета, если площадь полной поверхности конуса равна 144 см 2. 7) Радиус основания конуса равен 3 см, высота 4 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса. 8) Высота конуса равна 8 см, площадь боковой поверхности конуса - 60 см 2. Найдите радиус основания конуса. 9) Радиус основания конуса 9 см, а площадь боковой поверхности 369 см 2. Вычислите площадь его осевого сечения конуса. 10) Вычислите площадь осевого сечения конуса, если площадь основания равна 16 см 2, а площадь боковой поверхности - 20 см 2. 11) Площадь осевого сечения конуса равна 0,6 см 2. Высота конуса равна 1,2 см. Вычислите площадь полной поверхности конуса. 12) Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь боковой поверхности образованного при этом вращении конуса. 13) Прямоугольный треугольник с катетами 6 см и 8 см вращается вокруг меньшего катета. Вычислите площадь полной поверхности образованного при этом вращении конуса 14) Конус лежит на плоскости и катится по ней, вращаясь вокруг своей неподвижной вершины. Высота конуса равна 2 см, образующая 4 см. Вычислите площадь поверхности, описываемой высотой конуса. 15) Площадь основания конуса равна 9 см 2, а площадь его боковой поверхности равна 15 см 2. Найдите площадь осевого сечения конуса. 16) Треугольник АВС со сторонами 5 см, 12 см и 13 см вращается вокруг прямой AN, параллельной ВС. Найдите площадь поверхности тела вращения. 17) Площадь основания конуса равна 9 см 2. Образующая конуса 6 см. Найдите площадь боковой поверхности конуса ,9π 80π 144π

9 18) Диаметр основания конуса равен 12 см, площадь боковой поверхности конуса - 60 см 2. Найдите высоту конуса. 19) Образующая конуса равна 5 см. Найдите радиус основания конуса, если площадь его полной поверхности равна 24 см 2. 20) Площадь боковой поверхности конуса равна 32 см 2. Вычислите угол при вершине осевого сечения, если длина образующей конуса равна 8 см. 21) Площадь боковой поверхности конуса равна 15 см 2. Вычислите радиус основания конуса, если радиус окружности, вписанной в осевое сечение равен 1,5 см. 22) Площадь боковой поверхности конуса равна 72 см 2. Вычислите угол наклона образующей конуса к плоскости основания, если длина образующей равна 12 см. 23) Площадь боковой поверхности конуса равна 180 см 2. Вычислите радиус окружности, вписанной в осевое сечение конуса, если длина его образующей равна 15 см О 3 30 О 4

10 Объем конуса Теорема. Объем конуса равен одной трети произведения площади 1 основания на высоту. V= R 2 H. 3 Доказательство. Впишем в конус правильную n-угольную пирамиду. С возрастанием n объем этой пирамиды будет стремиться к объему конуса. Объем пирамиды находится по формуле V= 3 1 Sосн Н, где S осн площадь основания пирамиды. С возрастанием n площадь основания пирамиды стремится к площади круга основания конуса. Выражая площадь основания конуса через его радиус, получаем V= 3 1 R 2 H. Теорема доказана. Пример 4. Найдите объем конуса, если длина образующей 5 см, а высота конуса 4 см. Дано: АВ=5 см, АС=4 см. Найти: V Объем конуса можно найти по формуле V= 3 1 R 2 H, где R радиус основания, Н высота конуса. Радиус основания СВ= АВ 2 АС 2 Отсюда V= R 2 H/3= 9 4/3=12 см 3. =3 см. Ответ: 12 см 3

11 Пример 5. Центральный угол развертки боковой поверхности конуса равен 90 о. Вычислите объем конуса, если его образующая равна 6 см. Дано: АВ=6 см, ВАВ 1 =90 о Найти: V Объем конуса можно найти по формуле V= 3 1 R 2 H, где R радиус основания, Н высота конуса. Длина дуги ВВ 1 развертки боковой поверхности конуса равна длине АВ окружности основания, т.е. 2 R= 90 о. Отсюда R=1,5 см. 180 о Из треугольника АСВ ( АСВ=90 о, АВ=6 см, СВ=1,5 см) длина катета СА=Н= АВ 2 СВ 2 15 =3 см. Отсюда V= R 2 15 H/3=9 см Ответ: см 3 Пример 6. Найдите объем прямого кругового конуса, если площадь его основания равна Q, а площадь осевого сечения равна М. Дано: S осн =Q; S АВС =М Найти: V 1 V= Sосн H= Q АО. Чтобы найти АО, рассмотрим 3 S АВС = АО ВС= АО 2ОС=АС ОС=М. Так как πос 2 =Q, то ОС= ; AO= = =. Отсюда V= Q =. Ответ:

12 Задание 6. Решите задачу 1) Ромб с диагоналями и вращается вокруг большей диагонали. Найдите объем фигуры вращения. 2) Найдите объем конуса, если его боковая поверхность равна 15 см 2, а расстояние от центра основания до образующей 2 см ) Развертка боковой поверхности конуса представляет собой полукруг радиуса см. Найти объем конуса. 3 4) 15 Радиус основания конуса равен 6 см, а угол при вершине в 2 развертке его боковой поверхности равен 90 о. Найти объем конуса. 5 5) Диаметр основания конуса равен 12 см, высота конуса 9 см. Найдите объем конуса. 6) Высота конуса равна 6 см. Разверткой боковой поверхности конуса является сектор с центральным углом 120 о. Найдите объем конуса. 7) Полная поверхность конуса равна 2205 см 2. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой сектор с углом 60 о. Найдите объем конуса. 8) Объем конуса равен 32 см 3. Найдите радиус основания конуса, если его высота 6 см. 9) Высота конуса в три раза больше радиуса основания. Найдите радиус основания, если объем конуса равен 343 см 3. 10) Прямоугольный треугольник, длина гипотенузы которого равна 6 см, а острый угол в 30 о, вращается вокруг прямой, проходящей через вершину прямого угла и параллельной гипотенузе. Найдите объем тела вращения. 11) Дан равнобедренный треугольник АВС (ВС=ВА=5 см, АС=6 см). Вычислите объем тела, образованного вращением этого треугольника вокруг стороны АС. 12) Треугольник АВС со сторонами 5 см, 12 см и 13 см вращается вокруг прямой AN, параллельной ВС. Найдите объем тела вращения

13 13) Радиус основания конуса равен 3 2 см. Две взаимно перпендикулярные образующие делят площадь боковой поверхности конуса в отношении 1:2. Найдите объем конуса. 14) Разверткой боковой поверхности конуса является круговой сектор с центральным углом 190 о и хордой 2 см. Чему равно значение 8V/, если V объем конуса? 18 75

14 Подобные конусы Два конуса называются подобными, если они произошли от вращения подобных прямоугольных треугольников вокруг сходственных сторон. Пример 7. Объем конуса равен 12. Параллельно основанию конуса проведено сечение, делящее высоту конуса пополам. Найдите объем отсеченного конуса. Дано: V=12, h 2 =h 1 /2 Найти: V м Линейные размеры большого конуса. Линейные размеры маленького конуса и.. Преобразуем: ;. Подставим. Ответ: 1,5 Пример 8. Коническая воронка объемом 16 литров полностью заполнена жидкостью. Из воронки вычерпали часть жидкости, при этом ее уровень снизился до половины высоты воронки. Сколько литров жидкости вычерпали? Дано: V=16 л. Найти: V 1. Найдем, сколько литров жидкости вычерпали: 16-2=14 Ответ: 14

15 Пример 9. В сосуд в виде конуса налита жидкость до высоты. Объем налитой жидкости равен 5. Сколько жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху? Дано: V=5 Найти: V 1. Найдем сколько жидкости нужно долить, чтобы наполнить сосуд доверху: 320-5=315. Ответ: 315 Задание 8. Решите задачу 1) Высота конуса равна 5 см. На расстоянии 2 см от вершины его пересекает плоскость, параллельная основанию. Найдите объем исходного конуса, если объем меньшего конуса отсекаемого от исходного, равен 24 см 3. 2) Высота конуса разделена на три равных отрезка и через точки деления параллельно основанию проведены плоскости, разбивающие конус на три части. Найти объем среднего усеченного конуса, если объем данного конуса равен 27 см