07. Физические задачи, приводимые к квадратным/степенным уравнениям или неравенствам
Задача 1. После дождя уровень воды в колодце может повыситься. Мальчик измеряет время падения небольших камешков в колодец и рассчитывает расстояние до воды по формуле , где — расстояние в метрах, — время падения в секундах. До дождя время падения камешков составляло с. На сколько должен подняться уровень воды после дождя, чтобы измеряемое время изменилось на с? Ответ выразите в метрах.
Вычислим расстояние до воды до дождя:
Во время дождя уровень воды поднимится, уменьшится время падения камешка и составит с.
Тогда расстояние до воды после дождя будет
Соответственно уровень воды поднимется после дождя на
Задача 2. Зависимость объeма спроса (единиц в месяц) на продукцию предприятия-монополиста от цены (тыс. руб.) задаeтся формулой Выручка предприятия за месяц (в тыс. руб.) вычисляется по формуле Определите наибольшую цену , при которой месячная выручка составит не менее тыс. руб. Ответ приведите в тыс. руб.
Наибольшее отвечающее неравенству, –
Задача 3. Высота над землeй подброшенного вверх мяча меняется по закону , где — высота в метрах, — время в секундах, прошедшее с момента броска. Сколько секунд мяч будет находиться на высоте не менее метров?
Находим интересующее нас время из неравенства:
Стало быть, мяч будет находиться на высоте не менее 4 метров в течении секунд.
Задача 4. Мотоциклист, движущийся по городу со скоростью км/ч, выезжает из него и сразу после выезда начинает разгоняться с постоянным ускорением км/ч 2 . Расстояние от мотоциклиста до города, измеряемое в километрах, определяется выражением где — время в часах. Определите наибольшее время, в течение которого мотоциклист будет находиться в зоне функционирования сотовой связи, если оператор гарантирует покрытие на расстоянии не далее чем в км от города. Ответ выразите в минутах.
В силу неотрицательности имеем
Наибольшее отвечающее неравенству, –
Задача 5. Если достаточно быстро вращать ведeрко с водой на верeвке в вертикальной плоскости, то вода не будет выливаться. При вращении ведeрка сила давления воды на дно не остаeтся постоянной: она максимальна в нижней точке и минимальна в верхней. Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю. В верхней точке сила давления, выраженная в ньютонах, равна , где — масса воды в килограммах, — скорость движения ведeрка в м/с, — длина верeвки в метрах, — ускорение свободного падения (считайте м/с ). С какой наименьшей скоростью надо вращать ведeрко, чтобы вода не выливалась, если длина верeвки равна см? Ответ выразите в м/с.
Вода не будет выливаться, если сила еe давления на дно будет положительной во всех точках траектории кроме верхней, где она может быть равной нулю.
Не забудьте перевести сантиметры в метры!
Поскольку – положительная величина, переходим к равносильному неравенству:
В силу неотрицательности переменной неравенство равносильно следующему:
Наименьшее значение , отвечающее неравенству, равно
Задача 6. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону где м — начальный уровень воды, м/мин 2 , и м/мин — постоянные, — время в минутах, прошедшее с момента открытия крана. В течение какого времени вода будет вытекать из бака? Ответ приведите в минутах.
Определим отвечающее за нулевой уровень воды в баке:
Итак, по прошествии минут вся вода вытечет из бака.
Задача 7. В боковой стенке высокого цилиндрического бака у самого дна закреплeн кран. После его открытия вода начинает вытекать из бака, при этом высота столба воды в нeм, выраженная в метрах, меняется по закону , где — время в секундах, прошедшее с момента открытия крана, м — начальная высота столба воды, — отношение площадей поперечных сечений крана и бака, а — ускорение свободного падения (считайте м/с ). Через сколько секунд после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды?
Первоначальная высота столба в баке (при ) – м.
Четверть объема останется тогда в баке, когда высота столба воды в баке станет м.
Подставляем в основную формулу:
Таким образом, через с после открытия крана в баке останется четверть первоначального объeма воды.
Задача 8. Зависимость температуры (в градусах Кельвина) от времени для нагревательного элемента некоторого прибора была получена экспериментально и на исследуемом интервале температур определяется выражением , где — время в минутах, К, К/мин , К/мин. Известно, что при температуре нагревателя свыше К прибор может испортиться, поэтому его нужно отключать. Определите, через какое наибольшее время после начала работы нужно отключать прибор. Ответ выразите в минутах.
Подставляя все известные величины, получаем:
Через минуты после включения прибор нагреется до К, и если его нагревать и дальше, прибор может испортиться.
Поэтому, прибор нужно выключить через минуты.
Задача 9. Для сматывания кабеля на заводе используют лебeдку, которая равноускоренно наматывает кабель на катушку. Угол, на который поворачивается катушка, изменяется со временем по закону , где — время в минутах, мин — начальная угловая скорость вращения катушки, а мин — угловое ускорение, с которым наматывается кабель. Рабочий должен проверить ход его намотки не позже того момента, когда угол намотки достигнет ˚. Определите время после начала работы лебeдки, не позже которого рабочий должен проверить еe работу. Ответ выразите в минутах.
Найдем , отвечающее углу намотки :
минут (в силу неотрицательности переменной имеем один корень)
Рабочий должен проверить работу лебедки не позднее минут после начала работы.
Задача 10. Автомобиль, движущийся в начальный момент времени со скоростью м/с, начал торможение с постоянным ускорением м/с . За секунд после начала торможения он прошёл путь (м). Определите время, прошедшее от момента начала торможения, если известно, что за это время автомобиль проехал метров. Ответ выразите в секундах.
Согласно условию время , прошедшее от момента начала торможения, находится из следующего уравнения:
За секунды после торможения автомобиль проделает путь м.
Задача 11. Деталью некоторого прибора является вращающаяся катушка. Она состоит из трeх однородных соосных цилиндров: центрального массой кг и радиуса см, и двух боковых с массами кг и с радиусами . При этом момент инерции катушки относительно оси вращения, выражаемый в кг см , даeтся формулой . При каком максимальном значении момент инерции катушки не превышает предельного значения 1300 кг см ? Ответ выразите в сантиметрах.
Момент инерции катушки не должен превышать предельного значения 1300 кг см , поэтому
В силу неотрицательности , получаем:
Так, максимальное подходящее значение – это
Задача 12. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет форму сферы, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: , где — постоянная, — радиус аппарата в метрах, кг/м — плотность воды, а — ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Каков может быть максимальный радиус аппарата, чтобы выталкивающая сила при погружении была не больше, чем Н? Ответ выразите в метрах.
Выталкивающая сила при погружении должна быть не больше, чем Н, поэтому
Соответственно, максимальный радиус аппарата, отвечающий неравенству –
Задача 13. Для определения эффективной температуры звeзд используют закон Стефана–Больцмана, согласно которому мощность излучения нагретого тела P, измеряемая в ваттах, прямо пропорциональна площади его поверхности и четвeртой степени температуры: , где — постоянная, площадь измеряется в квадратных метрах, а температура — в градусах Кельвина. Известно, что некоторая звезда имеет площадь м , а излучаемая ею мощность не менее Вт. Определите наименьшую возможную температуру этой звезды. Приведите ответ в градусах Кельвина.
Сокращаем обе части неравенства на
Умножаем обе части на :
В силу неотрицательности , имеем:
Наименьшая возможная температура звезды –
Задача 14. На верфи инженеры проектируют новый аппарат для погружения на небольшие глубины. Конструкция имеет кубическую форму, а значит, действующая на аппарат выталкивающая (архимедова) сила, выражаемая в ньютонах, будет определяться по формуле: где — длина ребра куба в метрах, кг/м — плотность воды, а — ускорение свободного падения (считайте Н/кг). Какой может быть максимальная длина ребра куба, чтобы обеспечить его эксплуатацию в условиях, когда выталкивающая сила при погружении будет не больше, чем Н? Ответ выразите в метрах.