Предел отношения двух многочленов. Первая часть: неопределенность вида $\frac$.
Пределы, о которых пойдёт речь в этой теме, имеют вид $\lim_\frac$, где $P_n(x)$ – многочлен n-го порядка (или n-й степени), а $Q_m(x)$ – многочлен m-го порядка. Например, в случае $\lim_\frac$ мы имеем отношение многочлена седьмого порядка (т.е. $4x^7-5x^2+78$) и второго порядка (т.е. $89x^2+8x-96$). Естественно, что нас будут интересовать различные виды неопределённостей, связанные с пределами $\lim_\frac$. Такие неопределённости можно условно разделить на две группы:
На данной странице мы рассмотрим методику раскрытия неопределенности вида $\frac$. Раскрытию неопределенности $\frac$ посвящена вторая часть этой темы.
Раскрытие неопределенности $\frac$.
Указанная неопределённость возникает в том случае, когда число $x_0$ является одновременно корнем как многочлена $P_n(x)$, так и многочлена $Q_m(x)$, т.е. $P_n(x_0)=0$ и $Q_m(x_0)=0$. Именно в таком случае говорят, что в пределе $\lim_\frac$ имеется неопределённость вида $\frac$. Схема решения стандартных примеров такого типа обычно состоит из двух шагов:
- Раскладываем выражение в числителе или знаменателе (или и там и там) на множители;
- Сокращаем множители, приводящие к неопределённости, и вычисляем искомое значение предела.
Для разложения на множители могут быть полезны несколько формул, которые я запишу ниже:
Кроме того, предполагаем, что читатель знает формулы для решения квадратных уравнений. Если $x_1$ и $x_2$ – корни квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$, то разложить его на множители можно по следующей формуле:
Замечу, что применение формул (1)-(5) зачастую бывает несколько затруднительно, посему рациональнее использовать схему Горнера. В примерах, к которым мы сейчас перейдём, всё вышеизложенное будет пояснено подробно. Последний пример содержит несколько необычный для стандартных типовых расчётов способ раскрытия неопределённости $\frac$, он размещён просто из интереса :)
то в заданном пределе мы имеем неопределённость вида $\frac$. Цель дальнейших преобразований состоит в том, чтобы разложить на множители числитель и знаменатель данной дроби. Для этого можно использовать формулы (1)-(5) или же применить схему Горнера.
Применим формулу №3, чтобы разложить на множители выражение $x^3+8$. Подставляя в указанную формулу $a=x$ и $b=2$, будем иметь:
$$ x^3+2^3 =(x+2)\cdot\left(x^2-2x+2^2\right) =(x+2)\cdot\left(x^2-2x+4\right) $$
Перейдём к разложению на множители знаменателя $3x^2+10x+8$, применяя для этого формулу №5. Чтобы применить данную формулу, сначала потребуется решить квадратное уравнение $3x^2+10x+8=0$:
Немного упростим выражение $3\cdot(x+2)\cdot\left(x+\frac\right)$. Внесём множитель $3$ во вторую скобку:
Итак, для знаменателя имеем: $3x^2+10x+8=(x+2)(3x+4)$. Вообще говоря, разложение выражения $3x^2+10x+8$ на множители можно получить быстрее, без использования дискриминанта.
Как разложить знаменатель на множители без использования дискриминанта? показать\скрыть
Дело в том, что один корень (т.е. $x_1=-2$) нам уже известен. Далее можно воспользоваться, например, теоремой Виета. Она применяется для приведённых квадратных уравнений, т.е. уравнений вида $x^2+bx+c=0$, поэтому разделим обе части уравнения $3x^2+10x+8=0$ на 3. Вот что мы получим:
В принципе, преобразовывать всё уравнение нам не нужно: достаточно в уме получить свободный член, т.е. $\frac$. По теореме Виета для корней приведённого квадратного уравнения имеем $x_1\cdot=\frac$. Ну, или учитывая, что $x_1=-2$, получим: $-2\cdot=\frac$, откуда $x_2=-\frac$. А далее выполняем разложение на множители:
Можно ли получить разложение ещё проще? Разумеется, можно :) Подбором. Мы знаем, что $x=-2$ – корень многочлена $3x^2+10x+8$. Следовательно, искомое разложение будет иметь такой вид:
Представьте, что вы раскрыли скобки в правой части равенства, т.е. в выражении $(x+2)\cdot(ax+b)$. Тогда перед $x^2$ у вас будет стоять коэффициент $a$, при этом свободный член будет равен $2b$. В левой части равенства расположен многочлен, у которого коэффициент перед $x^2$ равен 3, а свободный член равен 8. Исходя из равенства многочленов имеем: $a=3$ и $2b=8$, $b=4$.
Отмечу, что для разложения выражений на множители можно использовать и схему Горнера. В данном примере её применение явно излишне, однако при желании вполне возможно.
Как выполнить разложение на множители по схеме Горнера? показать\скрыть
Так как при $x=-2$ имеем $x^3+8=-8+8=0$ и $3x^2+10x+8=12-20+8=0$, то $(-2)$ – корень многочленов $x^3+8$ и $3x^2+10x+8$. Следовательно, эти многочлены делятся нацело на $(x-(-2))=(x+2)$. Собственно говоря, именно множитель $x+2$ и вызывает неопределенность $\frac$ в рассматриваемом пределе. Разделим $x^3+8$ на $x+2$ с применением схемы Горнера:
Теперь используем схему Горнера для деления многочлена $3x^2+10x+8$ на $x+2$:
Вернёмся к рассматриваемому пределу и используем полученные результаты:
Дальнейшее решение состоит в сокращении скобки $(x+2)$, которая и вызывала неопределённость $\frac$. После сокращения на эту скобку останется лишь записать ответ:
В даном случае для числителя и знаменателя имеем:
\begin & \lim_\left(2x^4-7x^3-4x^2-7x+28\right)=2\cdot4^4-7\cdot 4^3-4\cdot 4^2-7\cdot 4+28=0;\\ & \lim_\left(5x^3-19x^2+8x-48\right)=5\cdot 4^3-19\cdot 4^2+8\cdot 4-48=0. \end
Так как при $x\to 4$ числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac$. Чтобы раскрыть оную неопределённость, нужно разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе. Для этой цели применим схему Горнера. Разделим многочлен $2x^4-7x^3-4x^2-7x+28$ на $x-4$:
$$ \begin & 2 & -7 & -4 & -7 & 28\\ \hline 4 & 2 & 1 & 0 & -7 & 0 \end $$ $$ 2x^4-7x^3-4x^2-7x+28=(x-4)\left(2\cdot x^3+1\cdot x^2+0\cdot x-7\right)=(x-4)\left(2x^3+x^2-7\right). $$
Отмечу, что дальнейшее деление на $x-4$ не требуется. Если это не очевидно, то гляньте пояснения под примечанием.
Почему мы не стали делить дальше и остановились? показать\скрыть
Дело в том, что число $x=4$ не является корнем многочлена $2x^3+x^2-7$. Это легко проверить, подставив $x=4$:
Или же, если непосредственная подстановка по тем или иным причинам нецелесообразна, можно дописать ещё одну строку в схеме Горнера:
Как видите, последний элемент третьей строки не равен нулю, т.е. многочлен $2x^3+x^2-7$ на $x-4$ не делится.
Теперь разделим $5x^3-19x^2+8x-48$ на $x-4$:
Вновь упомяну, что дальнейшее деление на $x-4$ не нужно. Если это требует пояснений, то гляньте предыдущее примечание. Разумеется, возможна ситуация, в которой схему Горнера придётся применить несколько раз. Подобный случай рассмотрим в следующем примере №3.
Возвращаясь к исходному пределу, будем иметь:
В даном случае для числителя и знаменателя имеем:
\begin & \lim_\left(2x^5-5x^4+7x^3-11x^2+11x-4\right)=2-5+7-11+11-4=0;\\ & \lim_\left(9x^4-18x^3+11x^2-4x+2\right)=9-18+11-4+2=0. \end
Так как при $x\to 1$ числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac$. Чтобы раскрыть оную неопределённость, нужно разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе. Для этой цели применим схему Горнера. Схему Горнера здесь придётся применять несколько раз. Начнём с многочлена $2x^5-5x^4+7x^3-11x^2+11x-4$, который будем делить на бином $x-1$:
Дальнейшие преобразования не нужны, в чём несложно убедиться, дописав ещё одну строку в схему Горнера. Или же банально подставив $x=1$ в выражение $2x^2+x+4$ мы получим $2x^2+x+4=7\neq$, т.е. число $x=1$ не является корнем многочлена $2x^2+x+4$.
Применим схему Горнера для деления многочлена $9x^4-18x^3+11x^2-4x+2$ на бином $x-1$:
Возвращаясь к исходному пределу, будем иметь:
Так как при $x\to$ числитель и знаменатель одновременно стремятся к нулю, то мы имеем дело с неопределённостью вида $\frac$. Чтобы раскрыть оную неопределённость, нужно разложить на множители многочлены в числителе и знаменателе, однако же для многочлена в числителе это сделать несколько затруднительно. Для знаменателя трудностей нет, разложение будет таким:
Итак, многочлен в знаменателе мы разложили на множители, но вот в числителе скобка $(x-1)^$ становится препятствием: раскрывать её – дело чрезвычайно громоздкое. Попробуем пойти иным путём. Скобку не придется раскрывать, если скобки не будет, т.е. если вместо скобки будет одна переменная. Для этой цели введём новую переменную $t=x-1$. Так как $x\to$, то $t\to$. При этом из условия $t=x-1$ мы сразу получим $x=t+1$.
Напомню, что мы уже разложили на множители знаменатель, который с новой переменной станет таким:
Что же касается числителя, то для него будем иметь:
Однако же этого явно недостаточно. Полученный многочлен нужно разложить на множители. Используем для этой цели схему Горнера:
Итак, переходим к пределу с новой переменной:
На всякий случай дам пояснения относительно числа, полученного в числителе. Выражение $1+2+\ldots+100$ есть сумма первых ста членов арифметической прогрессии. Сумма первых $n$ членов арифметической прогрессии находится по формуле $S=\frac\cdot$, применяя которую, будем иметь:
В предыдущих примерах мы подробно разобрали классический путь решения задач такого рода: разложить на множители, а затем сократить. Однако если вы не хотите пользоваться схемой Горнера, забыли формулы для решения квадратных уравнений или же вам просто нравится решение стандартных проблем нестандартным путём, можно попробовать иной вариант.
Итак, пусть у нас есть предел $\lim_\frac$, в котором имеется неопределённость вида $\frac$. Простая замена $t=x-x_0$ (при этом $t\to$) позволит нам избавиться от свободного члена в многочленах числителя и знаменателя. После чего останется лишь вынести за скобки и сократить $t$ в некоторой степени. Разумеется, эти преобразования в общем случае довольно громоздки, но никаких уравнений решать не придётся. Например, для предела $\lim_\frac$ упомянутая замена примет вид $t=x-(-2)=x+2$. Подставляя $x=t-2$, раскрывая скобки и упрощая, получим такое решение:
Способ, честно скажем, на любителя :) Второй предел с его помощью будет решён так: