И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru. Связанные тела

1 И. В. Яковлев Материалы по физике MathUs.ru Связанные тела Задача 1. Два тела массами m и 2m связаны лёгкой нерастяжимой нитью и лежат на гладкой горизонтальной поверхности (тело массой m расположено левее). К телу массой m приложена горизонтальная сила F, направленная влево вдоль нити. Найдите силу натяжения нити. T = 2 3 F Задача 2. («Росатом», 2011, 11 ) Четыре тела с массами m, 2m, 3m и 4m, находящиеся на гладкой горизонтальной поверхности, связаны невесомыми и нерастяжимыми нитями. На систему тел действует внешняя горизонтальная сила F : один раз на тело массой m, второй раз на тело массой 4m. Найти отношение сил натяжения нитей, связывающих грузы m и 2m, в первом и втором случаях. 1 : 9 Задача 3. («Покори Воробьёвы горы!», 2017, ) Три одинаковых груза массы m = 100 г связаны попарно (1-й со 2-м, 2-й с 3-м) двумя лёгкими нерастяжимыми нитями. Верхний груз поднимают вверх с ускорением a = 5 м/с 2, два других поднимаются за ним. На сколько ньютонов различаются силы натяжения верхней и нижней нити? Ускорение свободного падения g 10 м/с 2. На 1,5 Н Задача 4. (Машина Атвуда) Грузы массами m 1 и m 2 (m 1 > m 2 ) прикреплены к нерастяжимой нити, перекинутой через неподвижный блок (см. рисунок). Система предоставлена самой себе. Найдите ускорение грузов, силу натяжения нити T и вес системы P (силу давления на ось блока). Массами нити и блока пренебречь. Трение в системе отсутствует. g, P = 2T a = m 1 m2 g, T = 2m 1m2 m1+m2 m1+m2 m 1 m 2 Задача 5. («Физтех», 2017, 9 ) Два груза массами m 1 = 49 г и m 2 = 51 г висят в поле тяжести на длинной нити, перекинутой через лёгкий блок, который может вращаться без трения. В начальный момент грузу m 1 сообщается скорость v 0 = 20 см/с, направленная вниз, а грузу m 2 сообщается такая же скорость, направленная вверх. 1) Найти ускорение грузов. 2) Найти максимальное смещение груза m 1 вниз. 3) Найти путь S, пройденный грузом m 1 через время τ = 3 с после начала его движения. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с 2. 1) a = m 2 m1 g = 0,2 m2+m1 м/с2 ; 2) x1 = v2 0 2a = 10 см; 3) S = 50 см 1

2 Задача 6. («Курчатов», 2017, 9 10 ) Невесомая нерастяжимая нить перекинута через идеальный неподвижный блок. К концам нити подвешены небольшие грузы: к правому груз массой m 1, к левому груз массой m 2, m 1 > m 2. Изначально грузы удерживают неподвижно на одном уровне, затем их отпускают. (9) Найдите скорости (модуль и направление) грузов в момент, когда расстояние между ними по вертикали составит h. (10) Через какое время t после начала движения грузов расстояние между ними по вертикали составит h? Ускорение свободного падения g, трение пренебрежимо мало. v = m1 m2 gh; t = (m1 +m2)h m1+m2 (m1 m2)g Задача 7. (МФТИ, 2007 ) На достаточно длинной невесомой нити, перекинутой через блок, подвешены два груза (см. рисунок). Грузам сообщили некоторую начальную скорость, и систему предоставили самой себе. В некоторый момент скорость левого груза массой m = 1 кг направлена вниз и равна v = 4 м/с. Через время t = 2 с после этого груз остановился. Определите силу натяжения нити. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с 2. m T = m ( g + v t ) = 12 Н Задача 8. («Физтех», 2016, 9 ) Два груза массами m и 2m, находящиеся на гладком горизонтальном столе, связаны нитью и соединены с грузом массой 3m другой нитью, перекинутой через невесомый блок (см. рисунок). Трением в оси блока можно пренебречь. 1) Найти ускорение грузов. 2) Во сколько раз сила натяжения нити между грузами на столе меньше силы натяжения другой нити? 1) a = g/2; 2) в 3 раза Задача 9. («Физтех», 2016, 9 ) Два небольших по размерам бруска находятся на гладкой горизонтальной платформе. Бруски связаны нитью и привязаны другой нитью к оси OO (см. рисунок). Расстояния брусков от оси OO отличаются в 3 раза. Отношение масс брусков m 2 /m 1 = 3. Система вращается вокруг вертикальной оси OO. Найти отношение сил натяжения нитей между осью OO и бруском m 2 и между грузами. T2/T1 = 2 2

3 Задача 10. (Всеросс., 1995, ОЭ, 9 ) Система, изображённая на рисунке, предоставлена самой себе. При этом оказалось, что невесомый брус длины L = 1 м движется вверх с ускорением g/2, оставаясь всё время в горизонтальном положении. Определите расстояние x, на котором подвешено тело массы m 3, если известно, что m 1 = 2 кг, m 2 = 3 кг. Трением можно пренебречь. x = m 2L = 0,6 м m1+m2 Задача 11. (Всеросс., 2014, РЭ, 9 ) К системе, приведённой на рисунке справа, прикладывают в указанном направлении внешние силы F 1 и F 2, графики зависимости которых от времени даны на рисунках снизу. Масса бруска m = 1 кг, коэффициент трения между плоскостью и бруском µ = 0,4, ускорение свободного падения g = 10 м/с 2. Нити лёгкие, нерастяжимые и длинные. Блок невесомый. На какое расстояние переместится брусок за 10 секунд, если изначально он покоится? 56 м Задача 12. (Всеросс., 2009, РЭ, 10 ) В установке (рис.) масса динамометра равна M, а массы грузов m 1 и m 2. Коэффициент трения между динамометром и поверхностью стола равен µ. Участки AB и CD нити горизонтальны. Массами обеих нитей, блоков, а также пружинки можно пренебречь. Найдите показания динамометра, если они постоянны. F = m1g, если m1 m2 µm; m1g 2m 2+(1+µ)M m1+m2+m, если m 1 > m2 + µm; m1g 2m 2+(1 µ)m m1+m2+m, если m 2 > m1 + µm Задача 13. (МОШ, 2007, 10 ) В системе, изображённой на рисунке, грузы 1 и 2 прикреплены к нитям, массы грузов 1, 2 и 3 равны M, 2M и 3M соответственно. Найдите их ускорения. Трение отсутствует. Блоки невесомы, нити невесомы и нерастяжимы, не лежащие на блоках участки нитей вертикальны. Проекции на ось, направленную вертикально вниз: a1 = g 3, a 2 = g 3, a 3 = 0 3

4 Задача 14. (МОШ, 2017, 10 ) На горизонтальном столе лежит доска массой m 1 = 1 кг, на которой находится брусок массой m 2 = 2 кг. К бруску привязана лёгкая нерастяжимая нить, второй конец которой перекинут через идеальный блок, закреплённый на краю доски. Коэффициент трения между доской и бруском µ = 0,2. Вертикальный участок нити начинают аккуратно нагружать одинаковыми гирьками массами m = 75 г каждая. При каком минимальном количестве n гирек система придёт в движение? Найдите модули и направления ускорений, с которыми в этом случае начнут двигаться доска и брусок. Трением между доской и поверхностью стола можно пренебречь, модуль ускорения свободного падения можно принять равным g = 10 м/с 2. n = 6; a1 = 1 µm 2 6 m 1+ m 2 + m 2 m 1 6 m g 0,3 м/с 2 (вправо); a2 = µm 2 6 m 1 1+ m 2 + m 2 m 1 6 m g 0,17 м/с 2 (влево) Задача 15. (МОШ, 2017, 11 ) На доске массой 2m лежит брусок массой m. Коэффициент трения между доской и столом µ, а между доской и грузом 4µ. При какой минимальной массе M груза, прикреплённого к вертикальному участку нити, начнётся проскальзывание между доской и бруском? M = 15µm 4 µ Задача 16. (МФТИ, 1998 ) Человеку массой m требуется подтянуть к стене ящик массой M = 3m с помощью каната, перекинутого через блок. Если человек стоит на горизонтальном полу, то для достижения цели ему нужно тянуть канат с минимальной силой F 1 = 600 Н (см. рисунок). С какой минимальной силой F 2 придётся тянуть этому человеку канат, если он упрётся в ящик ногами? Части каната, не соприкасающиеся с блоком, горизонтальны. Массами блока и каната пренебречь. M M F2 = M+m 2M F 1 = 2 3 F 1 = 400 Н Задача 17. (МФТИ, 2001 ) Систему из груза массой m, s бруска массой 2m и доски массой 3m удерживают в покое 2m (см. рисунок). Брусок находится на расстоянии s = 49 см 3m от края доски. Систему отпускают, и брусок движется по доске, а доска по горизонтальной поверхности стола. Коэффициент трения скольжения между бруском и доской µ 1 = 0,35, а между доской и столом µ 2 = 0,10. m g 1) Определить ускорение бруска относительно стола при движении бруска по доске. 2) Через какое время брусок достигнет края доски? Считать, что за время опыта доска не достигает блока. Массу нити, блока и трение в оси блока не учитывать. 1) a1 = 1 2µ 1 g 1 м/с 3 2 ; 2) t = 6s (1 4µ1+5µ2)g 1,7 c 4

5 Задача 18. (МФТИ, 2001 ) Систему из доски массой m, бруска массой 5m и груза массой 3m удерживают в покое (см. рисунок). Затем систему отпускают, и доска движется по горизонтальной поверхности стола, а брусок движется по доске. Через время t = 1,4 с брусок достигает края доски, а доска ещё не доходит до блока. Коэффициент трения скольжения бруска о доску µ 1 = 0,1, а доски о стол µ 2 = 0,3. 1) Определить ускорение бруска относительно стола при движении бруска по доске. 2) На каком расстоянии от края доски находился брусок до начала движения? Массу нити, блока и трение в оси блока не учитывать. 1) a = µ1g = 1 м/с 2 ; 2) L = 3 8 (1 3µ 1 2µ2)gt 2 75 см Задача 19. (Всеросс., 2010, финал, 10 ) На длинном гладком горизонтальном столе лежит доска массы m 2 и длины L, на левом конце которой находится груз массы m 1. Коэффициент трения между грузом и доской равен µ. Трение между доской и столом отсутствует. Груз m 1 связан с грузом M длинной невесомой нитью, перекинутой через невесомый блок (рис.). Система начинает двигаться из состояния покоя. 1) При каких значениях коэффициента трения µ груз m 1 и доска m 2 будут двигаться как единое целое (без проскальзывания)? 2) Найдите минимальное значение коэффициента трения µ min, при котором возможно движение без проскальзывания. 3) Пусть µ = µ min /2. В этом случае груз m 1 и доска m 2 будут двигаться с разными ускорениями. Через какое время t после начала движения груз соскользнёт с доски? Считайте, что m 1 = M = 1 кг, m 2 = 2 кг. Длину доски L примите равной 1 м. Известно, что длина груза много меньше L. Ускорение свободного падения примите равным g = 10 м/с 2. 1) µ µmin = Mm2 m1(m+m1+m2) = 1 2 ; 3) t = 0,9 с Задача 20. (Всеросс., 1994, финал, 10 ) Система грузов изображена на рисунке. Пружины одним концом прикреплены к неподвижной опоре, а другим к грузам массы m. Блок и нить в этой системе невесомы, а пружины изначально не деформированы. Левый груз опускают вниз на расстояние x и затем без толчка отпускают. Найдите ускорения грузов сразу после того, как его отпустили. Жёсткости пружин равны k 1 и k 2, причем k 1 > k 2. Если x < 2mg, то a 1 = a2 = (k 1+k2)x k1 k2 2m ; иначе a 1 = k 1x m g, a 2 = k 2x m + g 5

6 Задача 21. («Росатом», 2014, 9 10 ) Два стержня соединены в форме буквы «Г». Один из стержней расположен горизонтально, другой вертикально. На стержни надеты маленькие невесомые колечки, которые могут без трения перемещаться по стержням. К колечкам прикреплена невесомая нить. На нить надета массивная бусинка, которая может без трения перемещаться по нити. В начальный момент бусинку удерживают так, что нить натянута, длина её горизонтального участка равна l, а вертикального 2l. Бусинку отпускают. Найти её ускорение. Через какое время бусинка достигнет вертикального стержня? a = g 2, t = 2 l g 6