Проблема Варинга с натуральными числами специального вида Текст научной статьи по специальности «Математика»

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гриценко Сергей Александрович, Мотькина Наталья Николаевна

Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами специального вида получены асимптотические формулы . Задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена задачи с простыми числами. Они являются классическиnn nми проблеми теории чисел о числе решений уравнения p 1+p 2+···+p k = N в простых числах p1,p2. pk, где k 2 и n 1 натуральные числа. При k =3, n =1 задача Гольдбаха, k =5, n =2 задача Хуа Ло-Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа pi, i =1,2. k, наложены дополнительные ограничения вида an>2πim(ηN−0,5k(a+b)) sin k πm(b−a)σk(N,a,b)= e. πk mk |m|1 2+l 2 2+l 3 2+l 2 = N. Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с 4 целыми числами li, i =1,2,3,4, удовлетворяющими условию a1 + x 2 +. + x k = N, где x1,x2. xk натуральные числа. В данной работе решается вариант проблемы Варинга с натуральными числами xi, i =1,2. k, такими, что a n>n n 3 log n ), где I(N) число решений классической проблемы Варинга в произвольных натуральных числах x1,x2. xk, c = c(η)> 0, n 3, 2 n +1, если 3 n 10,k k0 = 2[n 2(2log n + log logn + 5)], если n> 10.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гриценко Сергей Александрович, Мотькина Наталья Николаевна

WARING’S PROBLEM INVOLVING NATURAL NUMBERS OF A SPECIAL TYPE

In 2008-2011, we solved several well-known additive problems such that Ternary Goldbach’s Problem, Hua Loo Keng’s Problem, Lagrange’s Problem with restriction on the set of variables. Asymptotic formulas were obtained for these problems. The main terms of our formulas differ from ones of the corresponding classical problems. In the main terms the series of the form 2πim(ηN−0,5k(a+b)) sin k πm(b−a)σk(N,a,b)= e. πk mk |m|1 + x 2 +. + x k = N (1) in natural numbers x1,x2. xk. The question on the number of solutions of the equation (1) is Waring’s problem. Let η be the irrational algebraic number , n 3, 2 n +1, if 3 n 10,k k0 = 2[n 2(2log n + log logn + 5)], if n> 10. In this report we represent the variant of Waring’s Problem involving natural numbers such that a

Текст научной работы на тему «Проблема Варинга с натуральными числами специального вида»

Том 15 Выпуск 3 (2014)

С НАТУРАЛЬНЫМИ ЧИСЛАМИ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА

С. А. Гриценко (г. Москва), Н. Н. Мотькина (г. Белгород)

Работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее были рассмотрены задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена, Лагранжа. Для числа решений этих проблем с числами специального вида получены асимптотические формулы. Задачи Гольдбаха, Хуа Ло-Кена — задачи с простыми числами. Они являются классическими проблеми теории чисел о числе решений уравнения р™+'2+• • •+Р2 = N в простых числах р1, р2. ,рц, где к ^ 2 и п ^ 1 — натуральные числа. При к = 3, п = 1 — задача Гольдбаха, к = 5, п = 2 — задача Хуа Ло-Кена. Авторы рассматривали эти задачи при условии, что на простые числа '1, 1 = 1, 2. к, наложены дополнительные ограничения вида а < < Ь, где а и Ь — произвольные действительные числа, 0^а<Ь^1, п — квадратичная иррациональность. При выводе асимптотических формул использовали круговой метод Харди-Литтлвуда-Виноградова. Полученные формулы отличаются от асимптотических формул классических задач в простых числах без ограничений тем, что в главных членах появляются ряды специального вида:

а (Ж а Ь) = е2пгт(пМ-0,5к(а+Ь)) ЪУ^ пт(Ь — а)

Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая также исследована авторами. Задача Лагранжа — задача о представлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чисел: ¿2 + ¡2 + ¡3 + ¡1 = N. Авторами рассмотрен вариант задачи Лагранжа с целыми числами ¡¿, 1 = 1, 2, 3, 4, удовлетворяющими условию а < < Ь. При выводе асимптотической формулы в задаче Лагранжа авторы, в основном, следовали схеме Клоостермана. В этой задаче в главном члене ряда вида ац(Ж,а,Ь) не возникает. Проблема Варинга — это задача о представлении любого натурального N суммой х2 + х2 + . + х2 = Ж,

где х^х2. х& — натуральные числа. В данной работе решается вариант проблемы Варинга с натуральными числами Xi, г = 1, 2. к, такими, что а ^ |пх™> < Ь, где п — алгебраическое иррациональное число. Здесь в главном члене появляется ряд (А, а, Ь), как и в задачах Гольдбаха и Хуа Ло-Кена с простыми числами, удовлетворяющими условию а < |ПР?> < Ь, г = 1, 2. к. Основным результатом работы является получение асимптотической формулы для числа решений 7(А) проблемы Варинга с числами специального вида:

J (N ) = / (N )afc (N,a,b) + O(N n 1 n3iogn),

где /(N) — число решений классической проблемы Варинга в произвольных натуральных числах xi, x2. , c = c(n) >0, n > 3,

k > k =| 2n + 1, если 3 ^ n ^ 10,

> \ 2[n2(2logn + log log n + 5)], если n > 10.

Ключевые слова: проблема Варинга, аддитивные задачи, числа специального вида, число решений, асимптотическая формула, квадратичная иррациональность, алгебраическое иррациональное число.

Библиография: 20 названий.

INVOLVING NATURAL NUMBERS OF A SPECIAL TYPE

S. A. Gritsenko (Moscow), N. N. Motkina (Belgorod)

In 2008-2011, we solved several well-known additive problems such that Ternary Goldbach's Problem, Hua Loo Keng's Problem, Lagrange's Problem with restriction on the set of variables. Asymptotic formulas were obtained for these problems. The main terms of our formulas differ from ones of the corresponding classical problems.

In the main terms the series of the form

a (N a b) = Y^ e2nim(nN-0,5k(a+b)) sinknm(b — a) ' ' nkmk

These series were investigated by the authors.

Suppose that k > 2 and n > 1 are naturals. Consider the equation

in natural numbers x\,x2. xk. The question on the number of solutions of the equation (1) is Waring's problem. Let n be the irrational algebraic number, n ^ 3,

" 0 \ 2[n2(2logn + loglogn + 5)], if n > 10.

In this report we represent the variant of Waring's Problem involving natural numbers such that a ^ < b, where a and b are arbitrary real numbers of the interval [0,1).

Let J(N) be the number of solutions of (1) in natural numbers of a special type, and I(N) be the number of solutions of (1) in arbitrary natural numbers. Then the equality holds

The series ak(N,a,b) is presented in the main term of the asymptotic formula in this problem as well as in Goldbach's Problem, Hua Loo Keng's Problem.

Keywords: Waring's Problem, additive problems, numbers of a special type, number of solutions, asymptotic formula, quadratic irrationality, irrational algebraic number.

Bibliography: 20 titles.

Данная работа является продолжением исследований авторов аддитивных задач с числами из специальных множеств.

Для числа решений /3д (N) задачи Гольдбаха о представимости нечетного натурального N в виде суммы трех простых чисел:

в 1937 г. И.М. Виноградов получил асимптотическую формулу [1], а именно доказал, что:

П 0 + (P-D3) П t - Р2—ip+3) •

В 1938 г. Хуа Ло-Кен доказал [2], что достаточно большое натуральное N, N = 5 (mod 24), представимо суммой квадратов пяти простых чисел:

(задача Хуа Ло-Кена). Для числа представлений I5,2(N) Хуа показал [3], что

В 1770 г. Ж. Лагранж доказал, что каждое натуральное число есть сумма не более четырех квадратов натуральных чисел:

(задача Лагранжа). Для числа решений /4 2(А) задачи Лагранжа известно, что

Пусть п — квадратичная иррациональность, а и Ь — произвольные действительные числа, 0 ^ а < Ь ^ 1. Ранее нами получены следующие результаты.

Теорема 1. [5] Для числа решений /зд^) задачи Гольдбаха с простыми р, а < < Ь, г = 1, 2, 3, при любом фиксированном положительном С справедливо равенство

2nim(nN-i,5(a+b)) sin3 nm(b a)

Теорема 2. [6] Пусть J5,2(N) — число решений задачи Хуа Ло-Кена с простыми числами pi; а < < b, i = 1, 2, 3, 4, 5. Для достаточно большого N = 5 (mod 24) справедлива формула

J5,2 (N) = I5,2(N MN,a,b) + O(N3/2-0,00002),

a5(N,a,b)= У e2nim(nN-2,5(a+b)) s^5™1(b— a).

Теорема 3. [7] Число решений J4,2(N) задачи Лагранжа в целых числах li, а < < b, i= 1, 2, 3, 4, для любого положительного малого £ выражается формулой

Полученные нами в теоремах 1 и 2 формулы отличаются от асимптотических формул классических задач Гольдбаха и Хуа Ло—Кена в простых числах без ограничений. У нас в главных членах появляются ряды a3(N, a, b), а5(N, a, b) специального вида. Изучение поведения этих рядов представляет собой отдельную проблему, которая исследуется авторами в [8].

В данной работе рассмотрена проблема Варинга:

с натуральными числами xi, х4. , хк специального вида.

Первое общее решение проблемы Варинга в 1909 г. дано Д. Гильбертом [9]. Он доказал, что при любом целом n ^ 4 существует k = k(n), для которого число решений уравнения (2) положительно при любом N ^ 1.

В 1921 г. Г. Харди и Дж. Литтлвуд [10], применив свой круговой метод [11]—[14], получили асимптотическую формулу для числа решений проблемы Варинга при k порядка n2n-i.

В 1924 г. И. М. Виноградов усовершенствовал рассуждения Харди и Литт-лвуда [15]. Он доказал, что асимптотическая формула Харди-Литтлвуда для числа решений проблемы Варинга справедлива при k порядка n4logn, и уравнение (2) разрешимо для всех достаточно больших N при числе слагаемых k порядка n log n.

Нами получен следующий результат.

Теорема 4. Пусть п — алгебраическое число степени s ^ 2, a и b — произвольные действительные числа, 0 ^ a < b ^ 1. Пусть n ^ 3, k ^ k0, где

k = i 2n + 1, если 3 ^ n ^ 10,

0 2[n4(2log n + log log n + 5)], если n > 10.

Тогда для числа решений J(N) проблемы Варинга в натуральных числах xi,x2, • • • , xk таких, что a ^ < b (j = 1, 2. k), справедлива асимптотическая формула.

J(N) = I(N)a(N, a, b) + O (nk i nnogn j

где I(Ж) — число решений уравнения (2) в произвольных натуральных числах XI, Х2, . ,хк,

4nim(VN-k(a+b)/4) Sinfc nm(b — a)

Положительная постоянная c зависит только от rq. Для I(N) известно [16], что при k ^ cn4logn,

Последовательность натуральных чисел х, удовлетворяющих неравенству а ^ < Ь имеет плотность (Ь — а). Естественно предположить, что

Однако, это предположение не верно. Действительно, возможно, что

При а = 0, < Ь (= 1, 2. к) имеем

Тогда из равенства

_1_ -Г<"4 Но возможно, что

Из (3)-(5) имеем, что 3^) = 0. Приходим к противоречию с предположением о том, что

Таким образом, число решений 3^) рассматриваемой задачи связано с числом решений /^) классической задачи так, что в главном члене появляется ряд а, Ь) того же типа, что и в теоремах 1, 2.

2. Вспомогательные утверждения

Лемма 1 (Дирихле). Пусть т ^ 1, а — вещественное число. Тогда существуют целые взаимно простые числа а и д, 1 ^ д ^ т, такие, что

Доказательство см., например, в [16], с. 158.

Лемма 2 (Лиувилль). Для любого действительного алгебраического числа а степени п можно подобрать положительное с, зависящее только от а, такое, что для всех рациональных чисел а/Ь (а/Ь = а) будет иметь место неравенство

Доказательство см., например, в [17], с. 264.

Лемма 3. При натуральном N ^ 2 справедливо равенство

1 + N2 sin2 nx Имеем разложение функции r(x) e ря^ Фурье

с коэффициентами ст ^ е-|т|/м.

Доказательство см., например, в [18], с. 473, с. 660, с. 668. Лемма 4. Пусть

а = - + —, (а,д) = 1, 0^ а<д^ т, |0| ^ 1. д дт

Пусть п — алгебраическое число степени в ^ 2, т — натуральное число, т ^ 2М. Тогда существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что

Доказательство. В силу теоремы Дирихле существуют целые числа А1 и Q1 такие, что

По условию леммы 4

Тогда из теоремы Дирихле следует, что существуют целые взаимно простые числа А и Q такие, что