Конус - урок 2 - Конус - ЦИЛИНДР, КОНУС И ШАР

- Приготовьте необходимые принадлежности: тетрадь, листки с записью фамилии и № варианта, ручку, карандаш, резинку.

- Два ученика идут к доске записывают решение домашнего задания № 548, 549 б). Еще один ученик доказывает формулу площади полной поверхности конуса. Остальные учащиеся отвечают на вопросы математического диктанта.

II. Актуализация опорных знаний

Математический диктант (диктуется по вопросу для каждого варианта). См. приложение.

По окончании диктанта ученики первых парт собирают работы. На обратной стороне доски учащиеся видят ответы. Исходя из настроения детей, возможны объяснения ответов.

1. Равнобедренный треугольник.

3. Равнобедренный треугольник.

Проверяем задание домашней работы.

Дано: конус, АР = 12 см. ∠PAO = α. a) ∠PAO = 30°. б) ∠PAO = 45°. в) ∠PAO = 60° (рис. 1).

1) Из ΔРАО r = ОА = 12 · cos α.

3) Если α = 30°, то если α = 45°, то если α = 60°, то

(Ответ: 108π, 72π, 36π см2..

Дано: конус, ОР = 8 дм. (рис. 2).

Решение: Сечение и основание конуса - круги - подобные фигуры. ΔАОР ∞ ΔAОР с коэффициентом 1/2. (Ответ: 4 дм.)

III. Решение задач по готовым чертежам

Задачи даются по нарастающей сложности:

1. Дано: Конус, ∠ABC = 120°, АВ = 6 (рис. 3).

1) ΔАВС - равнобедренный, угол при основании ∠A = ∠С = 30°.

2) Из ΔАВО Н = ВО = 3. (Ответ: H = 3, R = 3√3.)

2. Дано: Конус. ΔАВС - равносторонний, АВ = 12, R = 10 (рис. 4).

1) Из ΔВОС по теореме Пифагора

2) ΔABC - равносторонний, АС = 12, СК = 6. Из ΔСОК по теореме Пифагора ОК2 = ОС2 - СК2, (Ответ: Н = 2√11, ОК = 8.)

Высота конуса равна h. Через образующие МА и MB проведена плоскость, составляющая угол α с плоскостью основания. Хорда АВ стягивает дугу с градусной мерой β (рис. 5).

1) Докажите, что сечение конуса плоскостью МАВ - равнобедренный треугольник;

2) Объясните, как построить линейный угол двугранного угла, образованного секущей плоскостью и плоскостью основания;

4) Составьте (и объясните) план вычисления длины хорды АВ;

5) Составьте план вычисления площади сечения МАВ;

6) Покажите на рисунке, как можно провести перпендикуляр из точки О к плоскости сечения МАВ (обоснуйте построение).

1) Образующие конуса равны. Следовательно, стороны ΔМАВ МА = MB, ΔМАВ - равнобедренный.

2) ΔАОВ - равнобедренный, так как две стороны - радиусы окружности. ΔАМВ - равнобедренный, так как две стороны-образующие конуса. Треугольники имеют общее основание. Значит, высоты этих треугольников имеют общую точку - середину основания АВ. По определению линейного угла: угол МСО - является линейным углом двугранного угла, образованного секущей плоскостью МАВ и плоскостью основания конуса.

4) Из ΔСОМ ΔАОВ - равнобедренный. ОС - высота является медианой и биссектрисой. Из ΔВОС - прямоугольный.

6) Плоскость СОМ перпендикулярна плоскости ВАМ, т.к. одна из плоскостей (СОМ) проходит через перпендикуляр к другой (ВС). Поэтому перпендикуляр OO1 к прямой МС является перпендикуляром к плоскости ВАМ.

Учащиеся могут объяснять и по-другому: Строим OO1 ⊥ СМ, получаем OO1 перпендикулярен двум пересекающимся прямым МС и ВС, следовательно, OO1 - перпендикуляр к плоскости ВАМ. В зависимости от уровня класса в 5) и 6) задании можно рассказать только план решения.

V. Решение задач учебника

Строим чертеж к задаче и обсуждаем:

Назовите длину образующей конуса – 2r.

Какая фигура получается сечением конуса, проходящим через 2 образующие? Равнобедренный треугольник, две стороны которого 2r и угол между ними задан - 30°.

Вспомните и подберите нужную формулу площади треугольника.

Решают самостоятельно. Потом один из учеников проговаривает свое решение. На кодоскопе показать возможную запись.

Дано: конус, MPN - осевое сечение. МР = PN = 2r, ∠APB = 30° (рис. 6).

Решение: Все образующие конуса 2r, ΔАРВ - равнобедренный, (Ответ: r2.)

Выразите данную формулу Sосев. через высоту и радиус основания: S = RH.

Сколько неизвестных? - 2.

Выразите Sосн. формулой (Sосн. = πr2).

Вывод: Из формулы Sосн., находим r и, подставляя r в формулу Sосн., находим h (рис. 7).

2) Из ΔАВР имеем: (Ответ: )

VI. Подведение итогов

1. Какая фигура получается в сечении конуса плоскостью, проходящей через ось конуса? (Ответ: равнобедренный треугольник.)

2. Какая фигура получается в сечении цилиндра плоскостью, проходящей перпендикулярно оси цилиндра? (Ответ: круг.)

П. 55, 56, № 554 а), 555 а), 563.

Решение домашнего задания

Задача № 563. Дано: конус, OP = 1,2 см, Sосев. = 0,6 см2 (рис. 8).

1) Осевое сечение - треугольник: высота 1,2 см и основание 2r.

2) Из ΔАОР по теореме Пифагора

Дано: конус, l, r, ∠AOB = 60° (рис. 9).

1) В ΔАОВ - равносторонний (∠AOB = 60° - угол при вершине равнобедренного ΔАОВ ОА = ОВ = r). Следовательно, АО = ВО = АВ = r.

2) В ΔАРВ стороны АР = ВР = 1, АВ = r; Р = 2l + r; P/2 = l + r. По формуле Герона получим,

Дано: конус, OP = 10 см, ∠PKO = 30°, ∠AOB = 60°.

1) ΔKOP - прямоугольный: КР = 2OP; КР = 20 см, так как катет ОР - лежит напротив угла 30° и равен половине гипотенузы КР.

2) ΔАОВ — равносторонний, так как ∠AOB = 60° - при вершине равнобедренного треугольника, ОК - является высотой, биссектрисой. Из ΔBOR ОВ = 20 см. АО = ВО = АВ; АВ = 20.

Библиотека образовательных материалов для студентов, учителей, учеников и их родителей.

Наш сайт не претендует на авторство размещенных материалов. Мы только конвертируем в удобный формат материалы из сети Интернет, которые находятся в открытом доступе и присланные нашими посетителями.

Если вы являетесь обладателем авторского права на любой размещенный у нас материал и намерены удалить его или получить ссылки на место коммерческого размещения материалов, обратитесь для согласования к администратору сайта.

Разрешается копировать материалы с обязательной гипертекстовой ссылкой на сайт, будьте благодарными мы затратили много усилий чтобы привести информацию в удобный вид.