Урок «Расстояние от точки до плоскости»

Ранее было рассмотрено, что через точку А, не лежащую на плоскости α, можно провести только одну прямую, перпендикулярную к этой плоскости.

Дана плоскость α и точка А, не лежащая на ней.

Проведем из точки А прямую, перпендикулярную к плоскости α. Обозначим буквой Н точку пересечения проведенной прямой с плоскостью α.

Перпендикуляром, проведенным из точки А к плоскости α, называется отрезок АН. Точка Н называется основанием этого перпендикуляра.

Возьмем произвольную точку М, принадлежащую плоскости α и отличную от Н. Соединим точки А и М.

Отрезок АМ называется наклонной, проведенной из точки А к плоскости α. Точка М называется основанием наклонной.

Соединим точки М и Н.

Отрезок МН называется проекцией наклонной АМ на плоскость α.

Имеется точка А и два отрезка, проведенных из этой точки к плоскости α: отрезок АН и отрезок АМ. Как вы думаете, какой из этих отрезков меньше?

Рассмотрим отрезки АН и АМ.

Для этого рассмотрим треугольник АНМ. Это прямоугольный треугольник, так как угол АНМ равен 90 градусам (так как АН перпендикулярна плоскости α). Тогда сторону АН можно назвать катетом, а сторону АМ гипотенузой. Но гипотенуза всегда больше катета. Поэтому АН < АМ.

Значит, перпендикуляр, проведенный из точки, не лежащей на плоскости, к этой же плоскости, всегда меньше любой наклонной, проведенной из той же точки к этой же плоскости.

Таким образом из всех расстояний от точки А до разных точек плоскости α наименьшим является расстояние до точки Н.

Расстоянием от точки А до плоскости α называется длина перпендикуляра АН, проведенного к плоскости α.

Рассмотрим решение типовой задачи по теме.

Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены перпендикуляр АО и две равные наклонные АМ и АН. Известно, что АО = 3 единицам, АМ = АН = 5 единицам. Найти расстояние между основаниями наклонных.

Из прямоугольного треугольника АОМ найдем ОМ по теореме Пифагора. ОМ² = 25 – 9 = 16 или ОМ=4 единицы. Тогда МН=2*ОМ = 8 ед.

Рассмотрим три замечания к теме, которые необходимы для решения задач.

Пусть даны две параллельные плоскости α и β. Тогда все точки плоскости α будут равноудалены от плоскости β.

Действительно. На плоскости α взяты произвольные точки А и М. Из этих точек на плоскость β опустим перпендикуляры АН и МО соответственно. Следовательно, перпендикуляр АН параллелен перпендикуляру МО.

Эти перпендикуляры будут равными, по второму свойству параллельности плоскостей, которое звучит так: отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны.

Расстоянием между параллельными плоскостями называется расстояние от произвольной точки одной из параллельных плоскостей до другой.

На рис расстоянием между параллельными плоскостями α и β является отрезок, например, МО.

Если прямая параллельна плоскости, то все точки прямой равноудалены от этой плоскости.

Выберем любую точку А на прямой а, опустим перпендикуляр АО на плоскость α.

Длина перпендикуляра АО называется расстоянием между прямой а и параллельной ей плоскостью α.

Найдите расстояние между прямой МН и плоскостью параллельного ей прямоугольника АВСД, если известно, что МН=6см; угол МНО=45 градусам (см. рис 015).

Дано: МН || АВСД; МН=6см; МНО=45°; МО АВСД

МНО прямоугольный. Используя определения тригонометрической функции тангенс (Тангенсом угла в прямоугольном треугольнике называется отношение противолежащего катета к прилежащему катету), имеем МО=tg45°*6=1*6=6см

Пусть прямые а и b скрещивающиеся. Тогда плоскость α, проходящая через прямую а, параллельна прямой b (по теореме: Через каждую из двух скрещивающихся прямых проходит плоскость, параллельная другой прямой и притом только одна.).

Расстоянием между скрещивающимися прямыми называется расстояние между одной из скрещивающихся прямых и плоскостью, проходящей через другую прямую параллельно первой.

На рис расстоянием между скрещивающимися прямыми а и b является отрезок МО.

© 2022 Проект «Уроки математики»

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено!

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако команда проекта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом на электронную почту службы поддержки сайта.