Расчет прямоугольной пластины, две смежные стороны которой защемлены, а две другие смежные стороны шарнирно оперты Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»
Рассмотрен вопрос расчета прямоугольной жесткой пластины с двумя смежными защемлёнными и двумя смежными свободно опертыми сторонами при воздействии на систему любых внешних нагрузок. Для решения задачи предложен единый способ расчета этих пластин смешанным методом строительной механики в постановке, разработанной автором.
Похожие темы научных работ по механике и машиностроению , автор научной работы — Кожушко В.П.
DESIGN OF THE RECTANGULAR PLATE TWO ADJACENT SIDES OF WHICH ARE RESTRAINED AND THE OTHER TWO ADJACENT SIDES ARE HINGED
The problem of design of the rigid rectangular plate with two adjacent restrained sides and two freely supported sides when the system is subjected to any external loads is considered. To solve the problem in question there was proposed a uniform method for designing such plates, using the mixed method of structural mechanics in the formulation developed by the author.
Текст научной работы на тему «Расчет прямоугольной пластины, две смежные стороны которой защемлены, а две другие смежные стороны шарнирно оперты»
Вестник ХНАДУ, вып. 67, 2014
РАСЧЕТ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНЫ, ДВЕ СМЕЖНЫЕ СТОРОНЫ КОТОРОЙ ЗАЩЕМЛЕНЫ, А ДВЕ ДРУГИЕ СМЕЖНЫЕ СТОРОНЫ
В.П. Кожушко, проф., д.т.н., Харьковский национальный автомобильнодорожный университет
Аннотация. Рассмотрен вопрос расчета прямоугольной жесткой пластины с двумя смежными защемлёнными и двумя смежными свободно опертыми сторонами при воздействии на систему любых внешних нагрузок. Для решения задачи предложен единый способ расчета этих пластин смешанным методом строительной механики в постановке, разработанной автором.
Ключевые слова: продольная полоса, поперечная полоса, фиктивное защемление, смешанный метод строительной механики.
РОЗРАХУНОК ПРЯМОКУТНОЇ ПЛАСТИНИ, ДВІ СУМІЖНІ СТОРОНИ ЯКОЇ ЗАТИСНУТІ, А ДВІ ІНШІ СУМІЖНІ СТОРОНИ ШАРНІРНО ОБПЕРТІ
В.П. Кожушко, проф., д.т.н., Харківський національний автомобільно-дорожній
Анотація. Розглянуто питання розрахунку прямокутної жорсткої пластини з двома суміжними затиснутими і двома суміжними вільно обпертими сторонами при дії на систему будь-яких зовнішніх навантажень. Для розв ’язання задачі запропоновано єдиний спосіб розрахунку цих пластин змішаним методом будівельної механіки у постановці, розробленій автором.
Ключові слова: поздовжня смуга, поперечна смуга, фіктивне затиснення, змішаний метод будівельної механіки.
DESIGN OF THE RECTANGULAR PLATE TWO ADJACENT SIDES OF WHICH ARE RESTRAINED AND THE OTHER TWO ADJACENT SIDES ARE HINGED
V. Kozhushko, Prof., D. Sc. (Eng.),
Kharkiv National Automobile and Highway University
Abstract. The problem of design of the rigid rectangular plate with two adjacent restrained sides and two freely supported sides when the system is subjected to any external loads is considered. To solve the problem in question there was proposed a uniform method for designing such plates, using the mixed method of structural mechanics in the formulation developed by the author.
Key words: longitudinal stripe, diametrical stripe, fictitious restrain, mixed method of structural mechanics.
Введение Анализ публикаций
Сведения о расчете пластин с рассматриваемыми в данной статье условиями опирания их сторон встречаются редко.
В ряде литературных источников излагаются общие принципы решения задачи по определению внутренних усилий в жестких пластинах с различными граничными условиями, а
Вестник ХНАДУ, вып. 67, 2014
примеры расчета или расчетные таблицы приводятся только при воздействии простейших внешних поперечных нагрузок на пластины. Это связано со сложностью решения дифференциальных уравнений четвертого порядка в частных производных. Решений в замкнутом виде (в особенности при воздействии на пластину различных внешних нагрузок) очень мало. Так, в работе [1] для решения задачи предлагается использовать ряды или интегралы Фурье, интегральные уравнения Фредгольма, в работе [2] - матричные формы МКЭ. Различные численные методы расчета с реализацией их на ЭВМ изложены в работе [3]. Вопросы применения вариационных методов при расчете пластин подробно изложены Ю.Н. Работновым [4]. Л.А. Толоконников [5] рассматривает возможность использования при решении задачи НДС пластин функций комплексной переменной. Однако он подчеркивает, что подавляющее большинство аналитических решений получено для частных форм и областей и простых систем загружения или с помощью приемов, основанных в значительной мере на интуиции авторов. Кроме этого, в работе отмечено, что многие методы основаны на идее конформного отображения, хотя решения получаются громоздкими, неоднозначными, приближенными, потому что точные методы решения интегральных уравнений или построения конформно отображающих функций на сегодня отсутствуют. Исследования работы пластин с применением методов коллокаций, сеток и других приближенных методов изложены в работах [6, 7].
Во всех упомянутых выше источниках указывается, что задача по определению напряженно-деформированного состояния (НДС) тонких пластин упомянутыми методами возможна при любых граничных условиях, однако ни в одном из этих источников не приведен расчет пластин с указанными в данной статье условиями опирания сторон.
Для обеспечения решения задачи по расчету пластин составлены таблицы [8, 9] внутренних усилий и перемещений системы, однако и в них решения пластин с рассматриваемыми условиями закрепления нет.
Только в источниках [10, 11] автору данной статьи удалось найти сведения о расчете упругих пластин с двумя смежными защем-
ленными и двумя смежными шарнирно опертыми сторонами, однако и в этих работах рассмотрены пластины, нагруженные только распределенными по всей площади нагрузками.
Таким образом, вопрос исследования работы рассматриваемых в данной статье пластин, нагруженных любой поперечной нагрузкой, представляет определенный интерес.
Цель и постановка задачи
Рассматривается приближенный метод расчета исследуемых пластин, нагруженных любой внешней поперечной нагрузкой.
Предлагается пластину вдоль длинной стороны £ (рис. 1) разбивать на n-е количество полос шириной d=b / n, где b - меньшая сторона пластины. Для определения распределительной способности пластины вдоль короткой стороны b тоже вырезается полоса (поперечная) шириной 1м. Поперечную полосу следует вырезать в том сечении по длине пластины £ , в котором ставится задача определения внутренних усилий и перемещений (на рис. 1 эта полоса вырезана в середине пролета).
Поперечная полоса рассматривается как неразрезная система на упруго оседающих опорах, роль которых играют продольные элементы. Для определения усилий XA, Xi, Xb и предлагается смешанный
метод строительной механики [12, 13], для чего в точке А (на левом конце поперечной полосы) вводится фиктивное защемление (рис. 1). Таким образом, основная схема поперечной полосы представлена консольным элементом, что значительно облегчает процедуру определения единичных перемещений и свободных членов в системе уравнений (1).
Поскольку в точке А угол поворота Фа и
прогиб wa равны нулю, количество неизвестных будет (n+3) (если учитывать влияние на систему только вертикальных сил Zt).
Тогда система уравнений будет иметь следующий вид, если внешняя нагрузка будет равна P =1
Вестник ХНАДУ, вып. 67, 2014
Z1 + - --Zn + ZA + ZB - 1 = 0;
a1 • Z1 + -+an • Zn +b • Zb - ma - a =0;
R(z) • 7 + + R(z) • 7 + R(z) • 7 + Д = 0
(°b1 7 + — + °bn Zn +°bb ZB + ДЬр = 0-
где 5;(z)- прогиб поперечной полосы (при введении фиктивного защемления в точке А) в /-й точке от единичной силы Z/ =1; V -прогиб свободной продольной полосы от единичной распределенной нагрузки q =1 в сечении х от шарнира (рис. 2).