Вписанная и описанная окружность

Отметим, что около треугольника можно описать только одну окружность. В самом деле, допустим, что около треугольника можно описать 2 окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Построение центра и радиуса Свойства основных геометрических фигур, теоремы и утверждения, связанные с ними Формулы для вычисления радиуса описанной окружности описанной около треугольника окружности

Остроугольный треугольник Теорема 1

Свойства точек, лежащих на серединном перпендикуляре к отрезку: каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка. Обратно:

каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на серединном перпендикуляре к нему.

NH – серединный перпендикуляр к отрезку АВ

1) Точка О – точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам Это утверждение при решении задач используется ещё и следующим образом:

треугольника, является центром описанной окружности.

2) Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точкой О, являются радиусами описанной окружности

Если точка О – точка пересечения двух серединных перпендикуляров к двум сторонам треугольника, то перпендикуляр ОК к третьей стороне так же является серединным перпендикуляром.

Стороны треугольников пропорциональны синусам противолежащих углов

Из теоремы следует следующее утверждение:

где р – полупериметр

Прямоугольный треугольник Обратим внимание на следующие утверждения:

1) центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника лежит на середине , гипотенузы

О АВ и АО = ОВ; где a и b – катеты прямоугольного треугольника,

2) медиана, проведенная к гипотенузе равна половине гипотенузы, т. е. ОС = АВ;с – гипотенуза.

3) АО = ОВ = ОС = R;

4)Δ АОС и СОВ – равнобедренные с основанием АС и СВ соответственно.

Тупоугольный треугольник Центр окружности, описанной около тупоугольного треугольника, лежит вне треугольника.

Равнобедренный треугольник 1) т. О – центр окружности, лежит на высоте (медиане, биссектрисе), проведенной к основанию ОВН (высота, проведенная к основанию);

2) Δ ВМО ∼ Δ АНВ (по двум углам)

3) Δ АОВ = Δ ВОС – равнобедренные с основаниями АВ и ВС соответственно.

Δ АОС – равнобедренный с основанием АС;

4) ВН = ВО + ОН = R + ОН, следовательно,

5) Δ АОН – прямоугольный

,где а – основание равнобедренного треугольника, h – высота, проведенная к основанию.

Треугольник, все стороны которого касаются окружности, называется описанным около этой окружности, а окружность – вписанной в этот треугольник.

В каждый треугольник можно вписать окружность.

Рассмотрим произвольный Δ АВС и обозначим буквой О точку пересечения его биссектрис.

Проведем из точки О перпендикуляры соответ- ственно к сторонам АВ, ВС и СА. Так как точка

О равноудалена от сторон треугольника АВС, то

ОК = ОL = ОМ. Поэтому окружность с центром

О радиуса ОК проходит через точки К, L, и М.

Стороны треугольника АВС касаются этой окружности в точках К, L, М, так как они перпендикулярны к радиусам ОК, ОL.

Значит, окружность с центром О радиуса ОК является вписанной в Δ АВС.

Отметим, что в треугольник можно вписать только одну окружность. В самом деле, допустим, что в треугольник можно вписать две окружности, тогда центр каждой окружности равноудален от сторон треугольника и, значит, совпадает с точкой О пересечения биссектрис треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до сторон треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают.

Построение центра и радиуса вписанной в треугольник окружности Свойства основных геометрических фигур, теоремы и утверждения, связанные с ними Формулы для вычисления радиуса вписанной окружности

Общий вид треугольника Теорема 1

Свойство точек, лежащих на биссектрисе угла:

каждая точка биссектрисы неразвернутого угла равноудалена от его сторон (т. е. равноудалена от прямых, содержащих стороны угла).

Обратно: каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторон угла, лежит на его биссектрисе. ?

где S – площадь треугольника

1) Точка О – точка пересечения биссектрис внутренних углов треугольника, является центром вписанной в треугольник окружности.

2) перпендикуляры, опущенные на стороны треугольника из точки О –

являются радиусами вписанной в треугольник окружности

АЕ – биссектриса МАN

FK ⊥ AM и КН ⊥ AN

Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке.

Это утверждение при решении используют ещё и следующим образом:

утверждается, что если две биссектрисы пересекаются в точке О, то луч, исходящий из вершины С и проходящий через точку О является биссектрисой угла С треугольника АВС.

Площадь треугольника равна произведению полупериметра на радиус вписанной окружности.

где Р = a + b + c – периметр треугольника,

r – радиус вписанной окружности.

Свойство отрезков касательных:

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны.

Использование этой теоремы для треугольника, в который вписана окружность.

Точки М, N, К – точки касания окружности со сторонами треугольника АВ, ВС, АС

Следовательно, АК = АМ, ВМ = ВN, NС = КС.

Частные виды треугольников

Прямоугольный треугольник Обратим внимание на следующие утверждения: Кроме вышеуказанных формул

1) четырехугольник СМОР – квадрат а) СМ = МО = ОР = СР = r б) СО – биссектриса угла С, отрезок СО – диагональ квадрата.

Следовательно, МСО = РСО = 450.

2) отрезки АМ = AN; МС = СР; NВ = ВР.

Пусть АС = b; СВ = а; АВ = с, тогда

РВ = СВ – СР = а – r

AM = AC – AM = b – r

AB = AN + NB или с = (a – r) + (b – r)

Равнобедренный треугольник Обратим внимание на следующие утверждения: Использовать общие формулы

1) Δ АОС – равнобедренный с основанием АС и высотой, проведенной к основанию ОН = r;

2) Δ МВО ∼ Δ АВН (по двум углам)

Точка О – центр вписанной окружности, лежит на высоте, проведенной к основанию.

Если все вершины четырехугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около четырехугольника, а четырехугольник вписанным в эту окружность.

Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов его равны 1800.

А ВСD по теореме о вписанном угле - вписанный угол измеряется половиной

C ВAD дуги, на которую он опирается

Значит, А + C = ( ВСD + ВAD) = 3600 = 1800

Справедливо и обратное утверждение – четырехугольник можно вписать в окружность (около четырехугольника можно описать окружность), если сумма противолежащих углов его равна 1800.

1) Пусть в четырехугольнике ABCD А + C = 1800.

2) Проведем окружность через три вершины ABCD – А, В и D и докажем, что окружность проходит через С, то есть является описанной около ABCD.

3) Предположим, что это не так – пусть C лежит вне круга.

C ( DAB - EF) по теореме: если через точку, лежащую вне окружности провести две секущие, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, заключенных внутри угла

3) АВ = 11 + 1 = 13

2) На описанный около окружности треугольник.

а) треугольник общего вида:

I. В ∆ АВС вписана окружность, касающаяся сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках N, K и M. Найти периметр ∆ АВС, если АМ = 1, АС = 3,5 и АВС = 600.

1) МС = 3,5 – 1 = 2,5

АМ = AN = 1; СМ = СК = 2,5 – свойство касательных.

2) ∆ ОСК – прямоугольный, ОК = r

3) ∆ OAN – прямоугольный,

4) 1 + 2 + 300 = 900

АОС = 1800 - 600 = 1200.

5) ∆ АОС. Пусть r2 = а.

АС2 = 3,52 = а + 6,25 + а + 1 – 2 , теорема косинусов.

12а2 – 109а + 75 = 0

- не удовлетворяет смыслу,

7) ∆ ВОК – прямоугольный,

II. В ∆ АВС вписана окружность, касающаяся сторон АВ, ВС и АС соответственно в точках N, K и M. Найти длину отрезка NK, если АМ = 6, АС = 21 и АВС = 600.

1) МС = 21 – 6 = 15

АМ = AN = 6; СМ = СК = 15 – свойство касательных.

2) NBKO – четырехугольник, NOK = 1200.

3) ∆ NOК, ОК = ON = r.

NK2 = r2 + r2 – 2r r cos 1200 = 2r2 + r2 = 3 r2, теорема косинусов.

4) 1 + 2 + 300 = 900

АОС = 1800 - 600 = 1200.

АО2 = r2 + 62; ОС2 = r2 + 152. Пусть r2 = а

212 = а + 36 +а + 225 – 2 - теорема косинусов.

441 = 2а + 261 + а2 – 327 а + 8100 = 0

, - не удовлетворяет смыслу,

NK2 = 3 r2 = 3 27 = 81, NK = 9.

Ответ: 9 б) равнобедренный треугольник:

I. Найти площадь равнобедренного треугольника с углом 1200, если радиус вписанного круга равен см.

Из ∆ BDC находим BD = BC sin 300 = ;

Площадь ∆ АBC – S = pr =

С другой стороны,.

Тогда площадь ∆ АBC:

II. В равнобедренный треугольник вписана окружность. Параллельно его основанию АС проведена касательная к окружности, пересекающая боковые стороны в точках D и Е.

Найдите радиус окружности, если DE = 8, АС = 18.

1) МЕ = ЕР = 4 по свойству отрезков

NC = PC = 9 касательных

ЕН = 2r, ЕС = ЕР + РС = 4 + 9 = 13

НС = (NC – МЕ) = 9 – 4 = 5

3) ∆ ЕНС, ЕС2= ЕН2 + НС2

132= (2 r)2 + 52 169 = 4 r2 + 25 r = 6.

в) прямоугольный треугольник:

I. Периметр прямоугольного треугольника равен 2р, а гипотенуза равна с. Определить площадь круга, вписанного в треугольник.

Известно, что 2 р = х + у + с, отсюда х + у = 2 р – с.

Радиус вписанной окружности

Искомая площадь круга находится по формуле:

II. Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15 см. , а радиус окружности, вписанной в треугольник, равен 3 см. Найти площадь треугольника.

Пусть K, L, M – точки касания вписанной

Окружности. Тогда КО = LO = МО = 3 (см),

Отсюда СМ = КС = 3 (см)

МА = СА – СМ = 15 – 3 = 12 (см).

Значит, LA = 12 (см).

Обозначим ВК = BL = х.

Тогда площадь треугольника

С другой стороны,.

Тогда, , откуда х = 5.

Итак, площадь треугольника (см2).

3 ) Комбинированный задачи.

а) треугольник общего вида:

Найти периметр треугольника, стороны которого составляют арифметическую прогрессию с разностью 3, если известно, что произведение радиусов вписанной и описанной окружности равно 120.

Пусть АВ = х, тогда ВС = х + 3, АС = х + 6.

х (х+3)(х+6) = 240 (3х + 9) х (х + 6) = 240 3 х2 + 6х – 720 = 0

D1 = 729, х = - 3 27, х = 24, х > 0

= 3 х + 9 = 3 24 + 9 = 81.

б) равнобедренный треугольник:

В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см. , а боковая сторона равна 10 см. Найти радиусы вписанной и описанной окружностей и расстояние между их центрами.

Рассмотрим ∆ АВD ( BDA = 900),

Пусть R и r – радиусы описанной и вписанной в треугольник окружностей.

(см), где р – полупериметр ∆ АВС.

Расстояние между центрами

О1 О2 = О2В – О1 В = О2В – (BD - О1 D) =

= R – (6 - r) = R + r – 6 = (см).

в) прямоугольный треугольник:

I. Радиусы вписанной и описанной окружностей прямоугольного треугольника равны соответственно 2 и 5 см. Найти катеты треугольника.

По условию r = 2 см, R = 5 см.

В ∆ АСВ АСВ = 900, АВ = 2 R = 10,

АС = АЕ + СЕ = АК + СЕ = АК + r,

ВС = МВ + СМ = КВ + СМ = r + КВ,

АС + ВС = 2r + АВ, АС + СВ = 2 (r + R).

Пусть АС = х, тогда

СВ = 2 (r + R) – х, СВ = 14 – х.

Так как АВ2 = АС2 + ВС2, то

100 = х2 + 196 – 28х + х2, х1=8, х2 = 6.

Ответ: 6 см. , 8 см.

II. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника равен 15 см. , а радиус вписанной в него окружности равен 6 см. Найти стороны треугольника.

По условию АВ = 2R = 2 15 = 30 (см).

Радиус вписанной окружности

2 r = а + b – с 12 = а + b - 30 a2 + b2 = c2 a2 + b2 = 900 получаем а1 = 18 (см), b1 = 24 (см).

или а2 = 24 (см), b2 = 18 (см).

Ответ: 18, 24 и 30 см.

III. Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник равен 2м. , а радиус описанной окружности равен 5м. Найдите больший катет треугольника.

1) R = 5 м. , значит АВ = 10 м.

2) Пусть АМ = х, NB = у,

Тогда АМ = АК = х, NB = ВК = у – свойство касательных.

ВС = у + 2; АС = х + 2.

х + у = 10 х = 10 – у у = 6

(у + 2)2 + (х + 2)2 (у + 2)2 + (12 - у)2 = 100 х = 4 у2 – 10у + 24 = 0 у = 4 у1 = 6 у2 = 4 х = 6

4) катеты: 8м. и 6м.

4) На вписанный четырехугольник:

Меньшее основание равнобедренной трапеции равно 6м, большее 12м, угол при основании 60о. Найти радиус описанной около трапеции окружности.

ABCD – равнобедренная трапеция

(с основаниями BC и АD),

BC = 6м, AD = 12м, BAD =CDA = 600

1) Проведём высоту к большему основанию трапеции (AD) – CH.

2) ∆ CHD – прямоугольный, H = 900.

CH = HD tgCDH = 3 tg 600 = 3

3) ∆ BEO – прямоугольный, E = 900,

BO = R, EF = CH = 3 - высота.

Пусть OF = x, тогда EO = 3- x, c2 = a2 + b2, R2 = 32 + (3 - x)2

4) ∆ AOF – прямоугольный, F = 900, AO = R, OF = x

, c2 = a2 + b2, R2 = 62 + x2

5) 32 +(3 - x)2 = 62 + x2, 9 + 27 - 6, x + x2 = 36 + x2, -6x = 0, x = 0

6) Значит: R2 = 62 + 02

2) ∆ CHD, HCD = 300 значит CD = 2 HD = 6

AC2 = AD2 + CD2 – 2AD CD cosD

AC2 = 122 + 62 – 2126= 144 + 36 – 72 = 108

2) ∆ CКD – прямоугольный(K = 900)

KCD = 300 => CD = 6

AC2 = AD2 + CD2 – 2AD CD cos600=

= 122 + 62 – 2126= 144 + 36 – 72 = 108

4) ∆ ACD – вписанный,

5) На описанный четырехугольник:

I. В ромб с острым углом 30о вписан круг, площадь которого равна Q. Найдите площадь ромба.

Проведём радиусы OK,OL,OM,ON в точки касания.

ABC = 1800. - BAD = 1800 - 300 = 1500.

Так как диагонали в ромбе являются биссектрисами, то ABO =

У ромба AB = BC = CD = AD = 4r.

Площадь ромба: S = ABAD sin30o = 16r2 sin30o.

Площадь круга Q = π r2, откуда r2 =

Поэтому окончательно S =

II. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит сторону на отрезки длиной 2 и 8. Найдите периметр трапеции.

1) CO, DO – биссектрисы С иD

2)C+D = 1800 (C,D – односторонние при BCAD, секущей – CD)

1+2= 900, значит COD = 900

3) ∆ CОD – прямоугольный, OK CD

- средняя пропорциональная величина

4) AB = h = 2r= 2OK

5) BM = AT = OK = 4

6) PABCD = 8 + (4 + 2) + (2 + 8) + (8 + 4) = 36

III. Вычислить площадь трапеции по разности оснований, равной 14 см. , и двум непараллельным сторонам, равным 13 и 15см. , если известно, что в трапецию можно вписать окружность.

Пусть AB = 13, CD = 15.

Обозначим AE = x, FD = y.

AD – BC = 14, значит x + y = 14;

BE2 = AB2 - x2, CF2 = CD2 - y2, откуда 132 - x2 =152 -y2

Получим систему: x + y = 14

132 - x2 = 152 - y2 откуда x = 5, y = 9.

Значит, BE = 12, BC + AD = AB + CD = 2

Тогда SABCD = (BC + AD) = 286 = 168 (см2).

IV. Прямоугольная трапеция описана около окружности. Точка касания делит меньшее основание на отрезки длиной 3 и 6. Найдите площадь трапеции.

1) CK = CM = 3 – св-во касательных

2) ABMT – прямоугольник r = BM = 6, AB = 12

3) CO и CD – биссектрисы C и D

4) ∆ CОD – прямоугольный, OK CD

- средняя пропорциональная величина

5) DK = DT = 12 – свойство касательных

6) DA = 12 + 6 = 18

V. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна см2. Найти боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен.

∆ CED – прямоугольный и sin600 =

Отсюда 2R = CD = x 2R =

Площадь трапеции: Sтрап =

По условию S = = x2 = 64, x = 8 (см).

6) Комбинированные задачи.

В ромб с острым углом 300 вписан круг, а в круг – квадрат. Найти отношение площади ромба к площади квадрата.

Пусть К, L , М и N – точки касания окружности и сторон ромба.

Обозначим КО = ОL = OM = ON = r , АВ = ВС = DC = AD = a.

Тогда, , откуда r = a sin 150 cos 150 =.

Диаметр окружности является диагональю вписанного в окружность квадрата, т. е. 2 b2 = (2 r)2 , где b – сторона квадрата, тогда b =.

7) Правильные многоугольники.

I. В правильный треугольник вписана окружность, а в неё – правильный шестиугольник. Найти отношение площадей треугольника и шестиугольника.

Пусть сторона правильного треугольника равна a.

Тогда его площадь

Радиус окружности, вписанной в треугольник,

Он будет равен стороне шестиугольника, вписанного в эту окружность:

А радиус окружности, вписанной в этот шестиугольник

II. Около квадрата, сторона которого равна a, описана окружность, а около окружности – правильный шестиугольник. Определить площадь шестиугольника.

Радиус описанной около квадрата окружности равен половине диагонали квадрата

Эта же окружность является вписанной для шестиугольника:

Тогда площадь шестиугольника:

7) Комбинированные задачи.

Найти сторону правильного шестиугольника, равновеликого равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12 см. , если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

Так как AD – диаметр окружности

Проведём CLAD; тогда OL = 6 см.

И из ∆ CLO находим CL =(см).

Тогда SABCD = 0,5(BC + AD)CL = 0,5(12 + 20)8 = 128(см2)

Обозначим сторону правильного шестиугольника через x, имеем откуда x2, т. е.

ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

С КРАТКИМ ОТВЕТОМ

На вписанный в окружность треугольник.

Треугольник общего вида:

1. В окружности проведены две хорды AB = a и AC = b. Длина дуги АС = вдвое больше дуги AB. Найдите радиус окружности.

2. Около треугольника ABC описана окружность. Медиана треугольника AM продлена до пересечения с окружностью в точке K. Найдите сторону AC, если AM = 18, MK = 8, BK = 10.

1. Периметр прямоугольного треугольника равен 24 см. , площадь его равна 24 см2. Найдите площадь описанного круга.

На описанный около окружности треугольник.

1. В равнобедренный треугольник ABC с основанием AC вписана окружность радиус которой равен Высота BD делится точкой пересечения в отношении 2:1, считая от вершины B. Найдите площадь треугольника ABC.

2. В равнобедренном треугольнике основание равно 30 см. , а боковая сторона 39 см. Определить радиус вписанной окружности.

3. Длина высоты, опущенной на основание равнобедренного треугольника равна 25 см. , а радиус вписанной окружности равен 8 см. Найдите длину основания треугольника.

4. В равнобедренный треугольник с углом 120о при вершине и боковой стороной a вписана окружность. Найдите радиус этой окружности.

5. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 10см. , основание 12см. К окружности, вписанной в треугольник, проведены касательные, параллельные высоте треугольника и отсекающие от данного треугольника два прямоугольных треугольника. Найдите длины сторон этих треугольников.

Ответ: 3см. , 5 см. , 4 см.

6. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 5 см. и 12 см. Найдите катеты треугольника.

Ответ: 8 см. , 15 см.

7. Найдите отношение радиуса окружности, вписанной в равнобедренный треугольник, к высоте, проведённой к гипотенузе.

8. Найдите площадь круга, вписанного в прямоугольный треугольник, если высота, проведённая к гипотенузе, делит последнюю на отрезки длиной 25,6 см. и 14,4 см.

1. Стороны треугольника равны 13, 14, 15см. Найдите отношение площадей описанного и вписанного в этот треугольник кругов.

2. Радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, относится к радиусу вписанной в него окружности как 5:2. Найдите площадь треугольника, если один из его катетов равен a.

3. Периметр прямоугольного треугольного равен 72 м, а радиус, вписанной в него окружности – 6 м. Найдите диаметр описанной окружности.

4. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см. и 8 см. Найдите расстояние от центра вписанной в треугольник окружности до центра описанной около него окружности.

5. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольного треугольника, если радиус окружности, вписанной в этот треугольник равен 3 см. , а катет равен 10 см.

На вписанные четырёхугольники.

1. Длины оснований равнобедренной трапеции относятся как 5:12, а длина её высоты равна 17 см. Вычислить радиус окружности, описанной около трапеции, если известно, что её средняя линяя равна высоте.

2. Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 см. и 12 см. , если известно, что центр описанной окружности лежит на большем основании трапеции.

3. Найти радиус окружности, описанной около трапеции с основаниями 2 и 14 и боковой стороной 10.

4. В равнобедренной трапеции даны основания a = 21 см. , b = 9 см. , и высота h = 8 см. Найдите радиус описанной окружности.

5. В окружность радиуса R вписана трапеция, у которой нижнее основание вдвое больше каждой из сторон. Найдите площадь трапеции.

6. Высота равнобедренной трапеции равна 5,25, делит основание в отношении 1:9. Определить радиус описанной окружности, если боковая сторона равна меньшему основанию.

На описанные четырёхугольники.

1. В ромб, который делится своей диагональю на два равносторонних треугольника, вписана окружность радиуса 2. Найдите сторону ромба.

2. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определите радиус этого круга, если угол при основании трапеции равен 30о.

3. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S. Определить боковую сторону трапеции, если известно, что острый угол при основании равен 30о.

4. В равнобедренную трапецию вписан круг. Одна из боковых сторон делится точкой касания на отрезки длиной m и n. Определить площадь трапеции.

5. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна S, а высота трапеции в два раза меньше её боковой стороны. Определить радиус вписанного круга.

6. Найдите площадь круга, вписанного в равнобедренную трапецию, если её большее основание равно a, а угол при меньшем основании равен 120о.

7. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около круга, равна 8 см2. Определите стороны трапеции, если угол при основании равен 30о.

8. Около окружности диаметром 15 см. описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основание трапеции.

1. Вычислите отношение площадей квадрата, правильного треугольника и правильного шестиугольника, вписанных в одну и ту же окружность.

2. В правильный треугольник со стороной, равной a, вписана окружность, в которую вписан правильный шестиугольник. Найдите площадь шестиугольника.

3. В круг радиуса R вписан треугольник, площадь которого вдвое меньше площади круга. Определите стороны прямоугольника.

4. Из точки M, находящейся на расстоянии a от окружности, проведена к этой окружности касательная длиной 2a. Найдите площадь правильного шестиугольника, вписанного в окружность.

5. Сторона правильного треугольника, вписанного в окружность, равна a. Вычислите площадь квадрата, вписанного в ту же окружность.

6. В окружность, диаметр которой , вписан правильный треугольник. На его стороне построен другой правильный треугольник, в который вписана новая окружность. Найдите радиус этой окружности.