СИЛЫ ДАВЛЕНИЯ ПОКОЯЩЕЙСЯ ЖИДКОСТИ НА КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ

Зная распределение давления в покоящейся жидкости, можно решить вторую основную задачу гидростатики - определить силы давления жидкости на ограничивающие ее стенки.

В общем случае воздействие жидкости на твердую поверхность 5, погруженную в жидкость, сводится к воздействию суммы элементарных сил б/сГ, действующих на малых площадках с/З, составляющих эту поверхность (рис.

с/ У = рпс/З,

где п - единичный вектор нормали к поверхности с/Б, внешней к объему жидкости; р - давление на площадке б/5.

Суммируя элементарные силы с1 ЗГ, получаем выражение для главного вектора

называемого силой давления жидкости на поверхность 5. Точка приложения главного вектора называется центром давления.

Выражение для главного момента относительно центра приведения системы сил будет иметь следующий вид:

Ь = pndS, (2.48) где г - радиус-вектор центра площадки с/З.

Особенностью задачи определения давления на поверхность произвольной формы является невозможность прямого определения силы полного давления, так как силы давления, действующие на элементы криволинейной поверхности, не параллельны между собой. Поэтому, для того чтобы определить полное давление жидкости на поверхность произвольной формы, необходимо найти проекции

= Р . Величина Р силы Р весового давления рассчитывается по ее проекциям Рх, Ру, Ру на оси координат х, у, г. (Рассматривается поверхность, элементарные силы давления на которую сводятся к равнодействующей).

Линия действия силы Р определяется направляющими косинусами

сох)=Рх/Р; соб(п, у)=Ру/Р; соъ(п, г)=Ру/Р. Горизонтальная проекция на осьх равна

Рх = |с1Рх = | р - со$(п,х)с15 = РЯ 12(18х . (2.50)

Здесь с18х=с18со$(п, х) - проекция элементарной площадки на

координатную плоскость уог, нормальную к оси х. Интеграл | гс18х

представляет собой статический момент площади ?х относительно оси у. Следовательно,

Рх=Р§ = рg гс182 = pg hdSz , (2.53)

-Ата = -р а АЖ .

Знак минус показывает, что направление силы инерции противоположно ускорению а.

Рассмотрим два характерных случая относительного равновесия несжимаемой жидкости.

1. Равновесие жидкости в сосуде, движущемся прямолинейно с постоянным ускорением.

Сосуд движется с ускорением а вдоль прямой АВ, наклоненной к горизонту под углом а (рис. 2.17). В системе координат, показанной на рис. 2.17, для проекций единичных массовых сил имеем

Здесь j =Fj=-a - единичная сила инерции.

С учетом выражений (2.70) основное дифференциальное уравнение гидростатики (2.22) примет вид

dp = р[( j - g sina)dx - g cos a dy] (2.71)

После интегрирования (2.71) имеем

P = PO' — gsinajx-pg cosay+ C. (2.72)

Постоянную интегрирования С определяем из граничного условия:

С=/70+Р^7осо8а - выражает давление в точке О'.

Закон распределения давления в жидкости имеет вид

Р = Ро + р(/-gs'ma)x+pgcosa(y0 -у). (2.73)

Полагая в уравнении (2.72) /?=соп81, получим уравнение изобарических поверхностей (поверхностей уровня).

рО - ^8т а)х - р^со8 ау + С1 = 0 . (2.74)

Уравнение (2.74) является уравнением семейства плоскостей, параллельных оси Z. Одной из этих плоскостей является свободная поверхность жидкости.

Для нее С1=р^у0со8а при у=уо и х=0.

Уравнение свободной поверхности запишется в виде

р(у “ 8 8ша ) х + Рg со8а(у0 - у) = О, или, учитывая, что tg|3 = Ву/Вх, получим

Если движение сосуда происходит только под действием силы тяжести, то у-gsina и (3=0, т. е. в этом случае свободная поверхность будет параллельна плоскости АВ.

Если угол а=0 (горизонтальная плоскость), то из (2.73) имеем

р=Ро + рjx + pg(y0 - у). (2.76)

Например, для точки М, имеющей координату у (рис. 2.17), обозначая

х - h' - ; h — h! уЛ — у

и принимая j=g, получаем р - р0 + pgh,

т. е. давление по вертикали распределяется по гидростатическому закону.

2. Равновесие жидкости в сосуде,

равномерно вращающемся вокруг вертикальном оси с угловой скоростью 0)2 (рис. 2.18).

В число массовых сил мы должны включить центробежную силу инерции

где г - единичным вектор радиального направления; г - радиус вращения частицы, и=ш - линейная скорость движения жидкой частицы, находящейся на расстоянии г от оси вращения.

Проекции единичных массовых сил на оси координат

Ех = —сох)= о> 2 гсо8(г, х) = со^х; г

Дифференциальное уравнение равновесия (2.22) после интегрирования примет вид

Р = Р^^ 2 +У 2 ]-РЯ2 + С.

• 2 / ч
• 2.77

Произвольная постоянная определяется из граничных условий: при х=у=0, г=г0 и р=р0 > С=ръ+р&о.

• - к' есть высота, на которую поднята над
• 2? 2?

вершиной параболоида точка свободной поверхности, то выражение в скобке представляет собой заглубление к точки М под свободную поверхность. Таким образом, в жидкости, покоящейся в равномерно вращающемся сосуде, давление по вертикали распределяется по гидростатическому закону р = р0 + ^к, где к=г§- г + к'.

Уравнение (2.78) используют при расчете центрифуг-аппаратов,

в которых разделяют жидкости на компоненты, находящиеся до разделения в механической смеси (например, отделение воды от нефти, сливок от молока и др.).

Полагая /?=соіШ, из уравнения (2.77) получим уравнение изобарических поверхностей

Уравнение (2.80) есть уравнение поверхностей параболоидов вращения с осью I. Одной из таких поверхностей является свободная поверхность жидкости. Уравнение свободной поверхности получаем из (2.78) при р=ро

^ L (x 2 +y 2 )+pg(z0-z) = 0. (2.81)

ЗАКОН АРХИМЕДА. ПЛАВАНИЕ ТЕЛ

В соответствии с изложенным выше способом определения суммарного давления на криволинейные поверхности (см. § 2.9) выведем закон Архимеда (греческий ученый, живший в III в. до н. э.). Пусть тело АВОЕ полностью погружено в жидкость (рис. 2.19) и

находится в состоянии равновесия (покоя). Необходимо определить величину суммарного давления жидкости на это тело.

Воздействие жидкости сводится к одной вертикальной силе, так как результирующая горизонтальных сил равна нулю. Действительно, проекции сил на любую из горизонтальных осей равны по величине и противоположно направлены.

Вертикальную составляющую суммарного давления можно найти следующим образом. Выделим вертикальный элемент объема поверхностью с/З. Составим уравнение равновесия сил, действующих на тело, относительно оси 2

где кт= /?2 - Ь - высота элемента поверхности с/З; р - плотность жидкости; g - ускорение свободного падения.

• (2.82)
• (2.83)

Здесь - объем погруженного в жидкость тела; увод = pg -удельный вес жидкости.

На погруженное в жидкость тело действует выталкивающая (подъемная) сила, направленная снизу вверх и равная весу жидкости в объеме тела (или его погруженной части) (закон Архимеда).

Объем IV вытесненной телом жидкости называется объемным водоизмещением, а ее вес - водоизмещением.

Центр водоизмещения - это центр тяжести жидкости в объеме погруженной части тела (центр тяжести вытесненного объема жидкости).

Подъемная сила приложена к смоченной поверхности тела в точке, где эта поверхность пересекается вертикалью, проходящей через центр водоизмещения.

Плавание тел. На законе Архимеда основана теория плавания тел. Погруженное в жидкость однородное тело с удельным весом ут находится под действием двух сил: силы веса тела в пустоте Ц=ут^

Здесь для однородного тела могут быть три случая (для несжимаемой жидкости):

• 1) Ут > Увод; так как С-^од=^(ут — Увод)> 0, то тело потонет;
• 2) ут = увод; в этом случае (С=Риоя) тело будет плавать внутри

несжимаемой жидкости, сохраняя безразличное равновесие на любой глубине;

3) Ут УВ0Д; в этом случае (С-Рпол - центр водоизмещения.