ТРИКУТНИКИ ТА ЇХ ВИДИ. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ. РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК ТА ЙОГО ВЛАСТИВОСТІ

Трикутник – це геометрична фігура, що складається із трьох точок, які не лежать на одній прямій, і відрізків, які з’єднують ці точки. Точки називають вершинами трикутника, а відрізки – його сторонами.

Наприклад: трикутник із вершинами А, В, С і сторонами АВ, ВС, АС. Цей трикутник позначається так: .

Кути САВ, АВС, АСВ називаються кутами трикутника. Найчастіше їх позначають однією буквою: . Сторону ВС і кут А трикутника АВС називають протилежними. Протилежними є також сторона АВ і кут С, сторона АС і кут В. Кути А і С, В і С, А і В називаються прилеглими до сторін АС, ВС, АВ.

Периметром трикутника називають суму довжин трьох сторін трикутника. Якщо периметр трикутника позначити буквою Р, а довжини сторін ВС, АС і АВ – відповідно, через а, b, с, то

Теорема. У будь-якому трикутнику кожна сторона менша за суму двох інших сторін (нерівність трикутника), тобто .

2. Види трикутників

Залежно від довжини сторін розрізняють різносторонні, рівнобедрені і рівносторонні (або правильні) трикутники.

Трикутник, який має три різні за довжиною сторони, називають різностороннім.

Трикутник, який має дві рівні сторони, називається рівнобедреним. Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона – основою трикутника.

Наприклад: – рівнобедрений, у нього АВ=ВС, тобто АВ, ВС – бічні сторони, АC – основа.

Трикутник, у якого всі сторони рівні, називають рівностороннім, або правильним. У рівностороннього трикутника всі кути рівні, величина кожного з них дорівнює 60°.

Залежно від величини кутів розрізняють гострокутні, прямокутні й тупокутні трикутники.

Гострокутним називається трикутник, у якого всі кути гострі.

Прямокутним називається трикутник, у якого є прямий кут. Сторону прямокутного трикутника, протилежну прямому куту, називають гіпотенузою, а дві інші сторони – катетами.

Наприклад: сторона АС – гіпотенуза, сторони АВ і ВС – катети.

Тупокутним називається трикутник, у якого є тупий кут.

3. Висоти, бісектриси та медіани трикутника

Висотою трикутника називають перпендикуляр, проведений із його вершини до прямої, яка має протилежну сторону.

Наприклад: відрізок BD – висота відповідно гострокутного, тупокутного і прямокутного трикутників.

Висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

Медіаною трикутника називають відрізок, який з’єднує вершину трикутника із серединою протилежної сторони.

Наприклад: ВМ – медіана трикутника АВС.

Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка називається центром мас трикутника.

Бісектрисою трикутника називається відрізок, який з’єднує вершину кута і точку протилежної сторони й ділить кут навпіл.

Наприклад: BL – бісектриса трикутника АВС.

Усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці, яка є центром кола, вписаного в трикутник.

4. Середня лінія трикутника

Середньою лінією трикутника називають відрізок, який з’єднує середини двох його сторін.

Наприклад: MN – середня лінія.

Середня лінія трикутника паралельна третій стороні і дорівнює її половині.

Наприклад: .

5. Поняття про рівність фігур

Перетворення однієї фігури в іншу називається рухом, якщо воно зберігає відстані між точками, тобто будь-які дві точки А і В однієї фігури F переводяться в точки А1 і В1 другої фігури F1 так, що АВ=А1В1.

Дві фігури F і F1 називаються рівними, якщо вони рухом перетворюються в одну.

Запис F=F1 означає, що фігура F дорівнює фігурі F1.

Перетворення симетрії відносно точки і відносно прямої та поворот площини навколо точки є рухами.

6. Ознаки рівності трикутників

Наприклад: трикутники АВС і А1В1С1 – рівні.

Рівність трикутників позначається так: .

Якщо два трикутники рівні, то елементи (тобто сторони, кути, медіани, бісектриси, висоти тощо) одного з них відповідно дорівнюють елементам другого.

На малюнках рівні відрізки позначаються рівною кількістю рисок, а рівні кути однаковою кількістю дужок. У рівних трикутників проти рівних сторін лежать рівні кути, а проти рівних кутів – рівні сторони.

Перша ознака рівності трикутників (за двома сторонами і кутом між ними)

Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники є рівними.

Друга ознака рівності трикутників (за стороною і двома прилеглими кутами)

Якщо сторона і два прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні і двом прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники - рівні.

Третя ознака рівності трикутників (за трьома сторонами)

Якщо три сторони одного трикутника відповідно дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники є рівними.

Два прямокутні трикутники рівні, якщо виконується одна з умов:

1. два катети одного трикутника відповідно дорівнюють двом катетам другого трикутника;
2. катет і гострий кут одного трикутника відповідно дорівнюють катету і гострому куту другого трикутника;
3. гіпотенуза і гострий кут одного трикутника дорівнюють гіпотенузі і гострому куту другого трикутника;
4. гіпотенуза і катет одного трикутника відповідно дорівнюють гіпотенузі і катету другого трикутника.

7. Властивості та ознаки рівнобедреного трикутника

Властивості рівнобедреного трикутника

Рівнобедрений трикутник має такі властивості .

1. У рівнобедреного трикутника кути при основі рівні.

Наприклад: АВ=ВС, тобто – рівнобедрений, отже, .

1. У рівнобедреного трикутника медіана, проведена до основи, є і бісектрисою, і висотою.
2. У рівнобедреного трикутника висота, проведена до основи, є і бісектрисою, і медіаною.
3. У рівнобедреного трикутника бісектриса, проведена до основи, є і медіаною, і висотою.

Наприклад: у (АВ=ВС) відрізок BD є і медіаною (AD=DC), і висотою ( ), і бісектрисою ( ).